Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 13. О выборе нормПонятия сходимости, аппроксимации и устойчивости, введенные в §§ 10—12, имеют смысл, если тем или иным способом введены нормы в пространствах
для приближенного вычисления решения и дифференциальной краевой задачи Обсудим вопрос о степени произвола, с какой можно выбирать нормы в пространствах
Максимум берется по всем точкам сетки положить
или
или даже
Последняя норма может показаться удобной, так как в ней оказывается сходящейся разностная схема
для решения задачи
построенная в § 9 как пример непригодной схемы. Действительно, в силу равенства
вытекающего из соотношения (7) § 9, величина
стремится к нулю при измельчении сетки. Но ясно, что стремление этой величины к нулю ни в каком разумном смысле не означает стремления к нулю погрешности Нормы (2) и (3) также не стоит рекомендовать, так как они недостаточно характеризуют погрешности Обычно принято выбирать норму в пространстве
где
этому условию удовлетворяет, если в качестве U рассматривать пространство непрерывных функций, в котором
а сеточную функцию Норма
также является разумной. Она удовлетворяет условию (4), если, за U принять пространство непрерывных функций с нормой
а сеточную функцию В случае разрывного решения
но значение
Тогда и для разрывной функции
Ясно, что сходимость
в смысле нормы (1), т. е. равномерная сходимость, влечет за собою сходимость в смысле нормы (5), т. е. сходимость в среднем, но из сходимости в среднем не следует равномерная сходимость. Поэтому из числа разумных норм, удовлетворяющих условию (4), выбирают ту, в которой удается доказать сходимость изучаемой конкретной разностной схемы. Для этого выбора нет общего рецепта. В случае обыкновенных дифференциальных и соответствующих разностных уравнений, которыми мы занимаемся в этой главе, обычно достаточно удобны нормы (1), (5) или норма типа
в которой учтена скорость изменения сеточной функции при переходе от точки к точке. Равенство (4) при этой норме выполняется, если за U принять пространство непрерывно дифференцируемых функций с нормой
В случае уравнений с частными производными и соответствующих разностных схем иногда удобно пользоваться довольно замысловатыми нормами, приспособленными для конкретных задач. Перейдем к вопросу о выборе нормы в пространстве Обсуждение вопроса о выборе нормы в Пусть при каком-нибудь фиксированном выборе нормы
Аппроксимация, напомним, означает выполнение неравенства вида
Устойчивость означает, что задача
Если выбрать другую норму
то, очевидно, неравенства (8) и (9) заменятся соответственно неравенствами
Таким образом, аппроксимация будет уже не порядка k относительно шага h, а на единицу более высокого порядка Если бы мы вместо (10) ввели норму
то вместо 18) и (9) получили бы соответственно
Неравенство (13) гарантирует устойчивость, так как Таким образом, при сделанном выборе нормы Чтобы правильно выявить порядок точности разностной схемы, надо так выбрать норму Приведем, однако, одно соображение общего характера, способствующее правильному выбору нормы в линейном пространстве Например, в случае задачи
при внесении изменений Рассмотрим теперь разностную схему
так что
Норму в
Устойчивости можно ожидать только в том случае, если норма
существенно зависит и от
Устойчивость в этой норме доказана в § 12, где рассмотрена более общая нелинейная задача. Нельзя ожидать устойчивости, если норма выбрана, скажем, по формуле
куда а входит по мере уменьшения h со все более малым весом. Устойчивость в смысле этой нормы означала бы более слабую зависимость решения
аппроксимирует задачу
на решении В случае разностной схемы
для задачи
из тех же соображений норма
должна существенно зависеть от
но нельзя ожидать устойчивости при выборе в качестве нормы
Преобразуем схему (15) к несколько иному виду:
так что
Норму в теперь следует ввести, определив ее для произвольного элемента
куда
на величину порядка 1, так как изменение Нельзя ожидать устойчивости определив норму по формуле
т. е. так, как она была определена выше, когда мы пользовались пространством
|
1 |
Оглавление
|