Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 13. О выборе нормПонятия сходимости, аппроксимации и устойчивости, введенные в §§ 10—12, имеют смысл, если тем или иным способом введены нормы в пространствах
для приближенного вычисления решения и дифференциальной краевой задачи Обсудим вопрос о степени произвола, с какой можно выбирать нормы в пространствах
Максимум берется по всем точкам сетки положить
или
или даже
Последняя норма может показаться удобной, так как в ней оказывается сходящейся разностная схема
для решения задачи
построенная в § 9 как пример непригодной схемы. Действительно, в силу равенства
вытекающего из соотношения (7) § 9, величина
стремится к нулю при измельчении сетки. Но ясно, что стремление этой величины к нулю ни в каком разумном смысле не означает стремления к нулю погрешности Нормы (2) и (3) также не стоит рекомендовать, так как они недостаточно характеризуют погрешности Обычно принято выбирать норму в пространстве
где
этому условию удовлетворяет, если в качестве U рассматривать пространство непрерывных функций, в котором
а сеточную функцию Норма
также является разумной. Она удовлетворяет условию (4), если, за U принять пространство непрерывных функций с нормой
а сеточную функцию В случае разрывного решения
но значение
Тогда и для разрывной функции
Ясно, что сходимость
в смысле нормы (1), т. е. равномерная сходимость, влечет за собою сходимость в смысле нормы (5), т. е. сходимость в среднем, но из сходимости в среднем не следует равномерная сходимость. Поэтому из числа разумных норм, удовлетворяющих условию (4), выбирают ту, в которой удается доказать сходимость изучаемой конкретной разностной схемы. Для этого выбора нет общего рецепта. В случае обыкновенных дифференциальных и соответствующих разностных уравнений, которыми мы занимаемся в этой главе, обычно достаточно удобны нормы (1), (5) или норма типа
в которой учтена скорость изменения сеточной функции при переходе от точки к точке. Равенство (4) при этой норме выполняется, если за U принять пространство непрерывно дифференцируемых функций с нормой
В случае уравнений с частными производными и соответствующих разностных схем иногда удобно пользоваться довольно замысловатыми нормами, приспособленными для конкретных задач. Перейдем к вопросу о выборе нормы в пространстве Обсуждение вопроса о выборе нормы в Пусть при каком-нибудь фиксированном выборе нормы
Аппроксимация, напомним, означает выполнение неравенства вида
Устойчивость означает, что задача
Если выбрать другую норму
то, очевидно, неравенства (8) и (9) заменятся соответственно неравенствами
Таким образом, аппроксимация будет уже не порядка k относительно шага h, а на единицу более высокого порядка Если бы мы вместо (10) ввели норму
то вместо 18) и (9) получили бы соответственно
Неравенство (13) гарантирует устойчивость, так как Таким образом, при сделанном выборе нормы Чтобы правильно выявить порядок точности разностной схемы, надо так выбрать норму Приведем, однако, одно соображение общего характера, способствующее правильному выбору нормы в линейном пространстве Например, в случае задачи
при внесении изменений Рассмотрим теперь разностную схему
так что
Норму в
Устойчивости можно ожидать только в том случае, если норма
существенно зависит и от
Устойчивость в этой норме доказана в § 12, где рассмотрена более общая нелинейная задача. Нельзя ожидать устойчивости, если норма выбрана, скажем, по формуле
куда а входит по мере уменьшения h со все более малым весом. Устойчивость в смысле этой нормы означала бы более слабую зависимость решения
аппроксимирует задачу
на решении В случае разностной схемы
для задачи
из тех же соображений норма
должна существенно зависеть от
но нельзя ожидать устойчивости при выборе в качестве нормы
Преобразуем схему (15) к несколько иному виду:
так что
Норму в теперь следует ввести, определив ее для произвольного элемента
куда
на величину порядка 1, так как изменение Нельзя ожидать устойчивости определив норму по формуле
т. е. так, как она была определена выше, когда мы пользовались пространством
|
1 |
Оглавление
|