§ 13. О выборе норм

Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости, введенные в §§ 10—12, имеют смысл, если тем или иным способом введены нормы в пространствах которым принадлежат соответственно решение и правая часть разностной схемы

для приближенного вычисления решения и дифференциальной краевой задачи

Обсудим вопрос о степени произвола, с какой можно выбирать нормы в пространствах . Начнем с нормы по величине которой оценивается уклонение приближенного решения от сеточной функции , т. е. от таблицы значений решения и. Во всех рассмотренных примерах мы пользовались нормой, определенной равенством

Максимум берется по всем точкам сетки на которой определена сеточная функция . Можно было бы, конечно,

положить

или

или даже

Последняя норма может показаться удобной, так как в ней оказывается сходящейся разностная схема

для решения задачи

построенная в § 9 как пример непригодной схемы. Действительно, в силу равенства

вытекающего из соотношения (7) § 9, величина

стремится к нулю при измельчении сетки. Но ясно, что стремление этой величины к нулю ни в каком разумном смысле не означает стремления к нулю погрешности поскольку при этом разности могут стремительно (почти как ) возрастать, что и имеет место в рассматриваемом примере.

Нормы (2) и (3) также не стоит рекомендовать, так как они недостаточно характеризуют погрешности

Обычно принято выбирать норму в пространстве так, чтобы при стремлении шага h к нулю она переходила в ту или иную норму функций, заданных на всем отрезке, т. е. чтобы выполнялось равенство

где —норма в пространстве функций на отрезке, которому принадлежит решение Норма

этому условию удовлетворяет, если в качестве U рассматривать пространство непрерывных функций, в котором

а сеточную функцию определять как совпадающую с в точках сетки.

Норма

также является разумной. Она удовлетворяет условию (4), если, за U принять пространство непрерывных функций с нормой

а сеточную функцию по-прежнему определить как совпадающую с и в точках сетки.

В случае разрывного решения обладающего, однако, интегрируемым квадратом, за U можно принять пространство-функций с интегрируемым квадратом и с нормой

но значение сеточной функции определять не по формуле: которая может не иметь смысла, а по формуле

Тогда и для разрывной функции будет

Ясно, что сходимость

в смысле нормы (1), т. е. равномерная сходимость, влечет за собою сходимость в смысле нормы (5), т. е. сходимость в среднем, но из сходимости в среднем не следует равномерная сходимость. Поэтому из числа разумных норм, удовлетворяющих условию (4), выбирают ту, в которой удается доказать

сходимость изучаемой конкретной разностной схемы. Для этого выбора нет общего рецепта.

В случае обыкновенных дифференциальных и соответствующих разностных уравнений, которыми мы занимаемся в этой главе, обычно достаточно удобны нормы (1), (5) или норма типа

в которой учтена скорость изменения сеточной функции при переходе от точки к точке. Равенство (4) при этой норме выполняется, если за U принять пространство непрерывно дифференцируемых функций с нормой

В случае уравнений с частными производными и соответствующих разностных схем иногда удобно пользоваться довольно замысловатыми нормами, приспособленными для конкретных задач.

Перейдем к вопросу о выборе нормы в пространстве которому принадлежит правая часть разностной схемы Подчеркнем, что сходимость разностной схемы при избранной норме не зависит от того, как выбрана норма и выбрана ли эта норма вообще. Считать линейным нормированным пространством нам приходится только для того, чтобы свести доказательство сходимости и проверку порядка точности разностной схемы к проверке аппроксимации с некоторым порядком и проверку устойчивости.

Обсуждение вопроса о выборе нормы в проведем в предположении линейности разностной схемы Это делается лишь для того чтобы избежать громоздкости, не вызванной существом дела.

Пусть при каком-нибудь фиксированном выборе нормы разностная схема аппроксимирует задачу на решении и с некоторым порядком и устойчива. Тогда в силу теоремы о сходимости разностная схема является сходящейся и имеет порядок точности

Аппроксимация, напомним, означает выполнение неравенства вида

Устойчивость означает, что задача однозначно разрешима при любом причем

Если выбрать другую норму положив

то, очевидно, неравенства (8) и (9) заменятся соответственно неравенствами

Таким образом, аппроксимация будет уже не порядка k относительно шага h, а на единицу более высокого порядка . Судя по этому, можно было бы ошибочно заключить, что порядок точности разностной схемы не . Дело том, что неравенство (9) уже не означает устойчивости, которая при новом выборе нормы, вообще говоря, теряется.

Если бы мы вместо (10) ввели норму равенством

то вместо 18) и (9) получили бы соответственно

Неравенство (13) гарантирует устойчивость, так как можно заменить не зависящей от h постоянной лишь усилив неравенство. Неравенство (12) означает аппроксимацию порядка относительно шага

Таким образом, при сделанном выборе нормы мы могли бы на основании теоремы о сходимости гарантировать лишь порядок точности разностной схемы единицу более низкий, чем гарантированный неравенством (7). Утеря информации о порядке точности произошла из-за неудачного выбора нормы в пространстве

Чтобы правильно выявить порядок точности разностной схемы, надо так выбрать норму чтобы порядок аппроксимации оказался как можно более высоким, но устойчивость при этом еще не утерялась. Для такого выбора нормы нет общего правила. Более того, не всегда можно выбрать норму так, чтобы имела место и аппроксимация и устойчивость, иначе, вопреки примеру из § 9, всякая разностная схема была бы сходящейся.

Приведем, однако, одно соображение общего характера, способствующее правильному выбору нормы в линейном пространстве . При выборе нормы надо учитывать характер непрерывной зависимости решения дифференциальной краевой задачи , на основе которой построена разностная схема правой части

Например, в случае задачи

при внесении изменений и в правые части уравнения и граничного условия соответственно решение изменяется на величину того же порядка.

Рассмотрим теперь разностную схему

так что

Норму в как обычно, зададим равенством

Устойчивости можно ожидать только в том случае, если норма

существенно зависит и от и от а. Например, она может иметь вид

Устойчивость в этой норме доказана в § 12, где рассмотрена более общая нелинейная задача.

Нельзя ожидать устойчивости, если норма выбрана, скажем, по формуле

куда а входит по мере уменьшения h со все более малым весом.

Устойчивость в смысле этой нормы означала бы более слабую зависимость решения от а, чем зависимость от а решения и дифференциального уравнения. Между тем, при малом h в силу сходимости (сходимость имела бы место в случае устойчивости, поскольку аппроксимация тоже есть) решение разностного уравнения мало отличается от решения дифференциального уравнения и при изменении начального значения а должно меняться примерно так, как меняется решение Более четко: при сделанном выборе нормы задача

аппроксимирует задачу

на решении при любом а. Значит, в случае устойчивости функция не зависящая от а, должна была бы сходиться к решению каково бы ни было заданное а. Но не может сходиться одновременно к разным функциям

В случае разностной схемы

для задачи

из тех же соображений норма

должна существенно зависеть от . Она может иметь вид

но нельзя ожидать устойчивости при выборе в качестве нормы скажем, величины

Преобразуем схему (15) к несколько иному виду:

так что

Норму в теперь следует ввести, определив ее для произвольного элемента , по формуле типа

куда входит с возрастающим при весом Действительно, изменение а или на величину h равносильно изменению или на величину h, но при этом изменится на величину порядка 1. Последнее, если схема устойчива, повлечет за собой изменение решения уравнения

на величину порядка 1, так как изменение на величину аналогично изменению правой части условия дифференциальной задачи на величину порядка

Нельзя ожидать устойчивости определив норму по формуле

т. е. так, как она была определена выше, когда мы пользовались пространством для оснастки разностной схемы (15). Порядок аппроксимации, которым обладают схемы (15) и (17) при нормах (16) и (18) соответственно, для обеих схем одинаков — первый относительно h. Устойчивость схем (15) и (17) при нормах (16) и (18) будет доказана в § 14.