§ 23. Примеры конструирования граничных условий при построении разностных схем

Рассмотренные в § 22 примеры были подобраны так, чтобы не возникало вопросов относительно построения разностных краевых условий. Их без труда удавалось получить из дифференциальных граничных условий так, чтобы разностные условия при подстановке в них выполнялись точно. Здесь мы рассмотрим более сложные в этом смысле примеры.

Пример I. Для задачи

при построении разностной схемы воспользуемся разностным уравнением

Чтобы вычислить решение уравнения (2), надо задать не только

но также . Тогда из разностного уравнения (2) при можно последовательно вычислить затем и, , и так далее. Значения должны быть заданы близкими к

Поскольку , то

Таким образом, отбрасывая член можно положить

Ясно, что разностная схема

аппроксимирует дифференциальную краевую задачу (1) с порядком Нетривиальность этой схемы состоит в том, что разностное уравнение (2) имеет второй порядок по t, в то время как дифференциальное -первый. Поэтому потребовалось конструировать второе разностное краевое условие (4), не возникающее непосредственно из заданного краевого условия для дифференциальной задачи.

Приведем другой пример, в котором построение разностных граничных условий неочевидно.

Пример 2. Рассмотрим дифференциальную краевую задачу

Любое решение дифференциального уравнения задачи (6) однозначно определяется, если известно его значение в одной точке на каждой из прямых Действительно, вдоль такой прямой

так что является интегралом вдоль прямой

от . Значение постоянной интегрирования определяется по величине и в заданной точке.

На рис. 15 изображен прямоугольник в котором мы собираемся искать решение, и нанесено семейство параллельных прямых . Каждая из этих прямых пересекается в одной точке либо с отрезком оси либо с отрезком 0 Т прямой где задано Таким образом, задача (6) имеет единственное решение.

Рис. 15.

Приступим к конструированию разностной схемы для вычисления решения задачи (6). Зададим h так, чтобы и положим , где М — целое число, . В качестве сетки используем точки .

Точкам не лежащим на верхней и боковых границах прямоугольника D, поставим в соответствие уравнение

где

Получение этого уравнения было подробно описано в § 22. Значения и зададим равенствами

которые аналогичны граничным условиям для рассматриваемой дифференциальной задачи. Но равенств (9) недостаточно, чтобы определить решение всюду на . Не удается определить значения на левой границе прямоугольника. Поэтому дополним разностные граничные условия следующим:

Это условие возникает при замене в равенстве

являющемся следствием заданного дифференциального уравнения (6), производных соответствующими разностными отношениями.

Итак, мы построили разностную схему

Выясним порядок аппроксимации. С учетом рассмотрений § 22 ясно, что невязка бвозникающая при подстановке в разностную схему, в предположении достаточной гладкости решения и имеет вид

Если ввести в норму, положив для произвольного элемента

то и аппроксимация окажется имеющей лишь первый порядок относительно . Из выражения для видно,

что первый порядок определяется невязкой возникающей при подстановке в дополнительное искусственно сконструированное нами граничное условие на левой боковой границе.

Остаточный член в используемой сейчас норме оценивается только через вторые производные решения, т. е. эта норма не позволяет воспользоваться при исследовании граничных условий той гладкостью решения, которая была нужна для получения второго порядка аппроксимации во внутренних точках.

Приведем норму при которой построенная выше разностная схема имеет второй порядок аппроксимации на достаточно гладком решении

Для этой схемы, как легко видеть,

При этом постоянная А оценивается через производные до третьего порядка включительно.

Учет гладкости в этой норме осуществляется членами

Читатель, вероятно, заметил, что часть слагаемых в формуле, задающей новую норму в отличается от соответствующих слагаемых в первой норме множителем h. Ясно, что если делать такие умножения на h и на различные степени h произвольно, то можно добиться любого порядка аппроксимации. Однако мы уже обсуждали в § 13 вопрос о выборе норм в связи с обыкновенными дифференциальными уравнениями и знаем, что разумны только такие нормы, в которых разностная схема одновременно аппроксимирует дифференциальную краевую задачу и устойчива.

Устойчивость рассматриваемой схемы с использованной нормой, в которой имеется аппроксимация второго порядка, будет доказана в § 42.

Пример 2 очень поучителен. Он показывает, что для проверки аппроксимации в разумном смысле надо правильно выбрать норму. Исследуя ту или иную схему, приходится перепробовать

много норм. В каждой из них надо попытаться провести исследование устойчивости, которое само по себе, по крайней мере в настоящее время, часто требует изобретательности и труда.

На практике в большинстве случаев вместо интересующей задачи все исследование проводится на упрощенной, так называемой модельной задаче, после чего проводят экспериментальный счет по разностной схеме для исходной неупрощенной задачи.