§ 16. Ошибки округления

1. Ошибки в коэффициентах.

Если разностная схема

аппроксимирует задачу на решении и устойчива, то имеет место сходимость. Однако задуманная разностная схема никогда не реализуется точно из-за ошибок округления в задании ее коэффициентов и правых частей.

Пусть, например, требуется решить задачу

по разностной схеме

Значения и коэффициент задаются с теми или иными ошибками округления. В общем случае вместо (1) мы имеем дело с разностной схемой

где погрешности в задании оператора и правой части вызваннные округлениями. Для схемы (2) оператор Аимеет вид

Погрешность задается формулой

Здесь — погрешность, допущенная при задании величины М.

Чтобы избежать чисто технических трудностей, ограничимся случаем, когда операторы линейны, а пространство имеет конечную размерность, как в рассмотренной схеме (2). При этих предположениях исследуем, каковы допустимые ошибки округления и как должна возрастать точность задания

разностной схемы по мере измельчения сетки, т. е. при стремлении h к нулю.

Теорема. Если устойчивая разностная схема (1) аппроксимирует задачу на решении и с некоторым порядком

то при условиях

разностная схема (3) тоже аппроксимирует задачу с порядком и тоже устойчива.

Таким образом, при условиях (4) порядок точности разностной схемы (3), по которой фактически производится счет, есть и совпадает с порядком точности задуманной разностной схемы

В предположении, что норма выбрана в соответствии с условием (4) из § 13, т. е. так, что

величина остается ограниченной при Обозначим

и убедимся, что схема имеет порядок аппроксимации . В самом деле, имеем

Для доказательства теоремы нам будет полезна следующая известная

Лемма. Пусть А и В — два линейных оператора, отображающих некоторое конечномерное линейное нормированное пространство X в другое линейное нормированное пространство G.

Пусть, далее, при произвольном существует решение уравнения

причем

а также при любом выполнено неравенство

где — некоторые числа. Тогда уравнение

имеет единственное решение при любом и выполнено неравенство

Доказательство. Заметим, что X и G имеют одинаковую размерность, так как иначе не при всяком была бы разрешима задача

Далее, если — какое-нибудь решение уравнения

то

где решения уравнений

Отсюда

Из последнего неравенства следует, что при существует только тривиальное решение уравнения , а значит, существует единственное решение при произвольном и справедлива оценка (7).

Доказательство теоремы. Воспользуемся леммой и примем за операторы А и В соответственно Существование решения задачи и оценка (5) равносильны предположению устойчивости схемы (1). Оценка (6) имеет место

в силу (4) при любом положительном q, если только достаточно мало.

Разрешимость уравнения при любом и оценка (7) в точности равносильны факту устойчивости разностной схемы (3).

Отметим, что ограничения (4) на ошибки округления при задании устойчивой разностной схемы являются вполне разумными: если, уменьшая А, мы хотим получить ответ с точностью до , т. е. с числом десятичных знаков порядка то и коэффициенты разностной схемы надо задавать все более точно, увеличивая число знаков, с которыми они задаются, тоже со скоростью возрастания величины . Такое возрастание обычно вполне реализуемо, так как - медленно растущая функция. Если уменьшать шаги, не увеличивая числа десятичных знаков, с которыми заданы коэффициенты и правые части, то никакого повышения точности не получится.