§ 20. Методы решения краевых задач

Примером краевой задачи является задача

с граничными условиям на обоих концах отрезка на котором надо найти решение На этом примере мы схематически изложим некоторые способы численного решения краевых задач.

1. Метод стрельбы.

В § 19 указаны удобные способы численного решения задачи Коши, т. е. задачи вида

где — ордината точки , из которой выходит интегральная кривая, угол наклона интегральной кривой к оси при выходе из точки (рис. 7, а). При фиксированном решение задачи (2) имеет вид . При решение зависит только от а:

Используя указанное замечание о решении задачи Коши (2), мы можем теперь переформулировать задачу (1) следующим образом: найти такой угол при котором интегральная кривая, выходящая из точки под углом к оси абсцисс, попадет в точку :

Решение задачи (2) при этом совпадает с искомым решением задачи (1).

Рис. 7.

Дело сводится, таким образом, к решению уравнения (3) (рис. 7, б). Уравнение (3) есть уравнение вида где Оно отличается от привычных уравнений лишь тем, что функция задана не аналитическим выражением, а с помощью алгоритма решения задачи (2).

Сведение решения краевой задачи (1) к решению задачи Коши (2) и составляет сущность метода стрельбы.

Для решения уравнения (3) можно исчюльзовать метод деления отрезка пополам, метод хорд, метод касательных (метод Ньютона) и т.д. Например, при использовании метода деления отрезка пополам мы задаем так, чтобы разности

имели разные знаки. Затем полагаем

Вычисляем . Вычисляем затем по одной из формул

в зависимости от того, имеют ли разности

соответственно разные или одинаковые знаки. Затем вычисляем . Процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность, .

В случае использования метода хорд задаем , а затем последующие вычисляем по рекуррентной формуле

Метод стрельбы, сводящий решение краевой задачи (1) к вычислению решений задачи Коши (2), хорошо работает в том случае, если решение «не слишком сильно» зависит от а.

В противном случае он становится вычислительно неустойчивым, даже если решение задачи (1) зависит от входных данных «умеренно».

Поясним взятые в кавычки слова на примере следующей линейной краевой задачи:

при постоянном . Выпишем решение этой задачи:

Коэффициенты при с ростом а остаются ограниченными на отрезке функциями; при всех они не превосходят единицу. Поэтому небольшие ошибки при задании ведут к столь же небольшим погрешностям в решении. Рассмотрим теперь задачу Коши

Ее решение имеет вид

Если при задании допущена погрешность , то значение решения при получит приращение

При больших а вычитаемое в равенстве (4) пренебрежимо мало, но коэффициент при в первом слагаемом становится

вится большим. Поэтому метод стрельбы при решении задачи будучи формально приемлемой процедурой, при больших а становится практически непригодным. Это перекликается с соображениями п. 2 § 5, где был приведен пример вычислительно неустойчивого алгоритма для решения разностной краевой задачи.