4. Представление решения разностной схемы для задачи о колебаниях струны.

Рассмотрим пример трехслойной схемы , аппроксимирующей задачу о колебаниях струны с закрепленными концами:

Положим

где

Ищем решения разностного уравнения, удовлетворяющие условиям имеющие вид

пока не заботясь о выполнении начальных условий и Получаем следующее уравнение для

Таким образом, существуют два решения искомого вида (21)

Ввиду линейности задачи выражение

является решением при произвольном выборе чисел

При получаем соответственно

Эти соотношения определяют значения чисел . Сумма должна быть коэффициентом Фурье разложения по функциям т. е.

Точно так же

Запись решения разностного уравнения в виде конечного ряда Фурье используется не только для выяснения условий, при которых имеют место энергетические неравенства. В дальнейшем мы многократно будем пользоваться такими представлениями с различными целями при качественном изучении модельных задач.

Надо отметить только, что представления решений в виде конечных рядов Фурье редко используются непосредственно для вычисления решения. Дело в том, что удобные вычислительные методы должны быть пригодны для широкого класса задач. Выписанные нами разностные схемы легко обобщаются на случай переменных коэффициентов и неправильных областей, причем мы можем ожидать сохранения таких свойств, как выполнение энергетического неравенства. Но каждое такое изменение задачи нарушает возможность записать ее решение в виде ряда Фурье: мы не можем обычно выписать собственные функции оператора перехода со слоя на слой и не можем вычислить отвечающие им собственные значения.