4. Представление решения разностной схемы для задачи о колебаниях струны.
Рассмотрим пример трехслойной схемы 
, аппроксимирующей задачу о колебаниях струны с закрепленными концами:
Положим
где
Ищем решения разностного уравнения, удовлетворяющие условиям 
имеющие вид
пока не заботясь о выполнении начальных условий и 
Получаем следующее уравнение для
Таким образом, существуют два решения искомого вида (21)
Ввиду линейности задачи выражение
является решением при произвольном выборе чисел 
При 
получаем соответственно
Эти соотношения определяют значения чисел 
. Сумма 
должна быть коэффициентом Фурье разложения 
по функциям т. е.
Точно так же
Запись решения разностного уравнения в виде конечного ряда Фурье используется не только для выяснения условий, при которых имеют место энергетические неравенства. В дальнейшем мы многократно будем пользоваться такими представлениями с различными целями при качественном изучении модельных задач.
Надо отметить только, что представления решений в виде конечных рядов Фурье редко используются непосредственно для вычисления решения. Дело в том, что удобные вычислительные методы должны быть пригодны для широкого класса задач. Выписанные нами разностные схемы легко обобщаются на случай переменных коэффициентов и неправильных областей, причем мы можем ожидать сохранения таких свойств, как выполнение энергетического неравенства. Но каждое такое изменение задачи нарушает возможность записать ее решение в виде ряда Фурье: мы не можем обычно выписать собственные функции оператора перехода со слоя на слой и не можем вычислить отвечающие им собственные значения.
