2. Метод неопределенных коэффициентов.

Более общий способ построения разностных схем состоит в том, что приближается не каждая производная в отдельности, а сразу весь дифференциальный оператор. Разъясним этот способ на примерах, разностных схем для задачи Коши (4), Сначала рассмотрим схему первого порядка аппроксимации (5). Она связывает значения искомой функции в трех точках, изображенных на рис. 10 слева. Разностное уравнение

используемое в этой схеме, имеет вид

Забудем на время, что нам уже известна разностная схема (5), для которой

и, считая эти коэффициенты неопределенными, постараемся подобрать их так, чтобы имело место равенство

или

где

Воспользуемся формулой Тейлора:

Подставив эти выражения в правую часть равенства

получим

Поскольку нашей целью является такой подбор коэффициентов чтобы выполнялось условие аппроксимации (6), то естественно предварительно так сгруппировать слагаемые в правой части равенства (8), чтобы выделился член (7). Тогда остальные слагаемые образуют остаточный член аппроксимации, который должен быть мал. Чтобы выделить член можно заменить в правой части равенства (8) производные или соответственно по одной из формул:

Для определенности воспользуемся первой из них.

Кроме того, подчиним шаги связи , где — какая-нибудь постоянная. После этого равенство (8) примет следующий вид:

Среди всех гладких функций и можно указать такие, для которых и, в любой заранее заданной фиксированной точке принимают любые независимые друг от друга значения. Следовательно, и значения

также можно считать независимыми друг от друга. Ввиду этого из равенства (9) следует, что для выполнения при любой правой части задачи (4) условия аппроксимации

необходимо, чтобы выполнялись равенства

где — какие-нибудь произвольные величины порядка А. Положим . Получающаяся при этом система

имеет единственное решение

которое приводит к уже известной схеме (5).

Теперь мы, однако, дополнительно узнали, что среди разностных схем вида

она является единственной, аппроксимирующей рассматриваемую задачу Коши. Говоря о единственности, мы пренебрегаем тем произволом, который вносит, свобода выбора функций

Всюду в дальнейших примерах мы также будем пренебрегать подобного рода очевидным произволом и даже не всегда будем вводить произвольные величины, аналогичные величинам с самого начала полагая их равными нулю.

Читатель без труда убедится, что в рассмотренном сейчас примере учет этих величин привел бы к следующему несущественному изменению результата:

Аналогично будет обстоять дело и в других примерах, которые нам встретятся.

Посмотрим теперь, как можно строить для задачи (4) разностные схемы

более общего вида, связывающие значения искомой функции в четырех точках, изображенных на рис. 13.

Рис. 13.

Шаги сетки снова свяжем равенством и введем обозначение положив

Для всякой достаточно гладкой функции и с помощью формулы Тейлора можно написать

Выделим в правой части этого равенства член воспользовавшись для этого тождеством . Имеем

Если предполагать, что величина достаточно мала, — это предположение подтвердится в дальнейшем, — то для выполнения условия аппроксимации

необходимо, чтобы четыре числа удовлетворяли следующим трем равенствам:

Положим, как условились, произвольные величины порядка А равными нулю. Получим систему уравнений

Если условия 13 выполнены, то

Система (13) имеет много решений — семейство решений, зависящее от одного параметра. Одно из этих решений:

дает уже рассмотренную схему (5). Решению

соответствует схема

Выбрав какое-либо решение системы (13), надо его подставить в остаточный член и убедиться, что он мал. Для двух сейчас приведенных решений подстановка чисел дает остаточные члены

порядка .

Среди гладких функций и есть многочлены второй степени, для которых принимают в любой фиксированной точке любые независимые наперед заданные значения. При этом член в который входят третьи производные многочлена обращается в нуль. Поэтому для того, чтобы остаточный член был порядка h, необходимо, чтобы коэффициенты при каждый в отдельности были порядка h. Поскольку из первого уравнения (13) имеем , то коэффициент при есть и порядок остаточного члена всегда не выше первого.

Мы установили, что нельзя построить разностную схему вида (10), которая аппроксимирует задачу

с порядком . Для увеличения порядка аппроксимации пришлось бы увеличить число точек разностной сетки, используемых в конструируемой схеме.

Укажем некоторый способ, позволяющий все же построить разностную схему с аппроксимацией порядка использующую только четыре указанные точки разностной сетки. Способ повышения порядка аппроксимации, который мы сейчас изложим с помощью примера, норит общий характер. Оказывается, что можно подобрать коэффициенты так, чтобы выполнялось равенство

где

Е — оператор умножения на единицу. Тогда ввиду разностная схема

где

будет аппроксимировать рассматриваемую дифференциальную задачу на решении со вторым порядком относительно

Коэффициенты снова могут быть подобраны методом неопределенных коэффициентов. Они оказываются следующими:

Оператор при этом получается таким:

Методом неопределенных коэффициентов можно не только подобрать коэффициенты , при которых

при выписанном выше операторе Р, но и построить все такие операторы.

Покажем, как это делается.

Считая, что

и пользуясь формулой Тейлора, получим

Это выражение мы сейчас преобразуем. Начнем с вывода тождества

которое вытекает из определения :

Доказательство содержится в цепочке очевидных тождеств:

Используя эти тождества, можно выражение (14) переписать в следующем эквивалентном виде:

Построим оператор удовлетворяющий условию Члены, содержащие , включим в выражение поскольку

выбор оператора в наших руках. Все остальные члены

обязательно войдут слагаемыми в остаточный член равенства

как бы мы ни выбрали оператор . Справедливость последнего утверждения доказывается тем, что среди функций существуют такие, для которых и, принимают в любой фиксированной точке любые, независимые друг от друга, наперед заданные значения . Такой функцией является, например, многочлен

Ввиду независимости значений при любом выборе оператора для аппроксимации второго порядка необходимо, чтобы каждое в отдельности слагаемое, входящее в остаточный член, было порядка . Это требование можно записать такими равенствами:

Решение системы (16) определено с точностью до множителя. Дополним эту систему уравнением

которое выражает естественное, хотя и не необходимое ограничение на вы бор оператора коэффициент при в выражении равен единице.

В правые части равенств (6), (7) можно было бы добавить произвольные слагаемые но мы считаем их равными нулю, как условились.

Решая систему уравнений (16), (17), получаем коэффициенты , которые были уже нами приведены:

При этих значениях коэффициентов остаточный член равенства (15)

удовлетворяет оценке

где — некоторая постоянная, зависящая только от максимума абсолютных величин производных третьего порядка функции Это можно записать также в форме

Итак, мы установили, что с точностью до несущественных изменений только одна разностная схема

среди всех разностных схем вида

аппроксимирует дифференциальную краевую задачу (4) на решении последней со вторым порядком относительно А.

Во всех рассмотренных до сих пор в этой главе примерах разностных схем оператор , который отображает пространство в пространство , задается явными формулами. Но часто оказываются полезными разностные схемы, в которых оператор описывается тем или иным сложным образом. В дальнейшем мы еще встретимся с задачами, где такие схемы возникают естественным образом.

Изложенные приемы построения разностных схем остаются применимыми и в случае задач с переменными коэффициентами, в случае нелинейных задач, в случае сеток с переменным шагом. Например, в случае неравномерной сетки, изображенной на рис. 14, для замены производных, входящих в дифференциальное уравнение разностными отношениями с целью построения разностной схемы можно воспользоваться

Рис. 14.

формулами

отбросив в них остаточные члены.

Указанные формулы проверяются с помощью разложений Тейлора (2). Методом неопределенных коэффициентов можно убедиться в единственности этих формул: с точностью до несущественного произвола есть только один набор коэффициентов при котором для любой достаточно гладкой функции имеет место формула

с остаточным членом первого порядка малости относительно .

Формулы вида

с остаточным членом второго порядка малости при не существует.

Для более точной замены производной разностным отношением здесь необходимо привлечь более трех точек сетки.