§ 47. Об устойчивости итерационных алгоритмов решения несамосопряженных разностных уравнений

Решение стационарных задач установлением можно понимать как некоторый итерационный процесс, а результаты, полученные на очередном временном слое, — как соответствующее приближение. В § 35 была рассмотрена в качестве примера разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона.

В случае нулевых условий на границе — это самосопряженная разностная задача. В соответствии с этим в процессе установления можно было разлагать ошибку по полной ортогональной системе собственных функций. По расположению собственных чисел можно было судить одновременно и о скорости убывания погрешности, и о влиянии ошибок округления, вносимых на промежуточных слоях.

Оказывается, при решении несамосопряженных разностных уравнений установлением дело обстоит, вообще говоря, не так. Может возникнуть, несмотря на сходимость итерационного процесса, неустойчивость из-за большой чувствительности к ошибкам округления.

Это явление мы здесь точно определим и обсудим. При этом окажется полезным понятие спектра и ядра спектра семейства разностных операторов. Пусть

- семейство линейных уравнений («разностное уравнение») относительно неизвестного элемента и из некоторого -мерного линейного нормированного пространства зависящее от натурального параметра N. Мы будем рассматривать итерационный процесс

вычисления решения и. Будем предполагать, что все собственные значения оператора по модулю меньше единицы

т. е. что известный критерий сходимости процесса (2) выполнен, причем

Пусть теперь вычисления (2) ведутся приближенно с некоторым числом , а десятичных знаков, т. е. по формуле

где произвольны.

Зададим натуральное q и будем требовать, чтобы при произвольных выполнялось неравенство

Неравенство (6) обеспечивает возможность вычислить решение и по формулам (5) с ошибкой, не превосходящей единицу десятичного знака (в смысле нормы в )

Лемма. Для выполнения требования (6) необходимо, чтобы число а азйпасных знаков» в формуле (5) удовлетворяло неравенству

и достаточно, чтобы а удовлетворяло неравенству

где

Доказательство предоставляем читателю.

Отметим, что существование следует из условия (3). В дальнейшем будем понимать под наименьшее целое, обеспечивающее выполнение требования (6). Из леммы видно, что такое число существует, неотрицательно, от q зависит несущественно либо не зависит вовсе.

Определение. Сходящийся итерационный алгоритм (2) будем называть устойчивым, если существует не зависящая от N постоянная С, при которой выполнено неравенство

сходящийся итерационный алгоритм будем называть слабо устойчивым, если существует не зависящая от N постоянная С, при которой выполнено неравенство

но устойчивость места не имеет. Наконец, сходящийся итерационный алгоритм будем называть неустойчивым, если он не является ни устойчивым, ни слабо устойчивым.

Пример. Запишем уравнение

в форме

где — параметр. Итерационный алгоритм (2) для уравнения (10) примет вид

так что оператор запишется формулами

Оператор имеет, как легко видеть, только два собственных значения

Неравенство (3) выполнено и итерационный алгоритм (11) сходится при Примем за норму Покажем, что при он устойчив, а при неустойчив. Действительно, если то

так что . Поэтому и в силу леммы имеет место оценка (7) с постоянной Пусть теперь . Положим в Легко видеть, что в таком случае . Отсюда , где . Поэтому , а в силу леммы , что доказывает неустойчивость. Можно показать, что при итерационный алгоритм (11), слабо устоичив.

Таким образом, спектральный критерий сходимости (3) итерационного алгоритма не определяет его устойчивости. Спектральный критерий и признаки устойчивости формулируются не в терминах расположения спектров каждого из операторов R, а в терминах расположения спектра и ядер спектра семейства операторов Именно, в предположении, что семейство операторов равномерно ограничено, легко проверить следующие утверждения.

Лемма. Для того чтобы при всех достаточно больших значениях N итерационный алгоритм (2) был сходящимся, достаточно, чтобы радиус какого-нибудь ядра спектра семейства операторов был строго меньше единицы.

Критерий устойчивости. Для устойчивости итерационного алгоритма (2) необходимо и достаточно, чтобы спектр семейства операторов лежал строго внутри единичного круга.

Теорема. Для того чтобы итерационный алгоритм (2) сходился и был устойчив или слабо устойчив, достаточно, чтобы радиус ядра спектра семейства операторов был строго меньше единицы; для неустойчивости сходящегося итерационного алгоритма (2) достаточно, чтобы радиус этого ядра спектра семейства операторов был строго больше единицы.

В § 46 показано, что ядро спектра семейства операторов не зависит от выбора норм из естественного для разностных уравнений класса (4) § 46. Отсюда следует, в частности, что если операторы являются равномерно по N сжимающими, так что спектр, а значит, и ядро спектра семейства операторов лежат в круге то итерационный алгоритм (2) устойчив и остается устойчивым (сильно или слабо) и в любой другой норме (4) § 46, в которой операторы могут перестать быть сжимающими.

В рассмотренном выше примере спектр семейства операторов состоит из круга и точки причем совпадает со своим ядром Утверждение об устойчивости алгоритма (11) при и неустойчивости при можно сделать поэтому и с помощью спектральных признаков.

Для вычисления решения (несамосопряженного) уравнения вида

можно пытаться строить итерационный алгоритм в форме

При этом оператор надо подобрать так, чтобы его было легко численно обратить и чтобы спектр семейства операторов имел возможно меньший радиус . В силу оценки где произвольно, а не зависит от N, это обеспечит быструю сходимость, а в силу критерия устойчивости, сформулированного выше, — устойчивость итерационного алгоритма (13).