§ 27. Представление решений некоторых модельных задач в виде конечных рядов Фурье
Приведем примеры модельных задач, решения которых удается представить в виде конечных рядов Фурье. Такие представления имеют большую ценность, так как позволяют понять свойства рассматриваемых модельных задач, а тем самым и того класса задач, который они моделируют.
Сначала необходимо объяснить, что такое ряды Фурье для сеточных функций.
1. Ряды Фурье для сеточных функций.
Рассмотрим множество всех вещественных функций 
определенных в точках 
обращающихся в нуль 
. Совокупность этих функций с обычными операциями сложения и умножения их на вещественные числа образует линейное пространство. Размерность этого пространства есть 
, поскольку система функций
, очевидно, образует базис. Действительно, каждую функцию 
можно единственным образом представить в виде линейной комбинации функций 
Введем в рассматриваемом пространстве скалярное умножение, Доложив
Докажем, что система функций
образует ортонормальный базис в рассматриваемом пространстве, т. е. что
Для доказательства заметим, что
Отсюда при 
получаем
а при 
Любая сеточная функция 
разлагается по ортонормальному базису (2) в сумму
или
где
Ясно, что благодаря ортонормальности базиса (2) имеем
Сумма (4) и есть разложение сеточной функции 
в конечный ряд Фурье, а равенство 
- точный аналог равенства Парсеваля в обычной теории рядов Фурье.
Совершенно аналогично можно рассмотреть конечные ряды Фурье для функций на сеточном квадрате. Рассмотрим сетку
причем 
— натуральное. Совокупность вещественных функций 
определенных в точках сетки и обращающихся в нуль в точках, лежащих на границе квадрата, образует линейное пространство. Введем в нем скалярное умножение
В рассматриваемом линейном пространстве размерности 
система функций
образует ортонормальный базис
Это следует из (3), если заметить, что
Любая функция 
, обращающаяся в нуль на границе квадрата, разлагается в конечный двумерный ряд Фурье
где
Справедливо равенство Парсеваля
Во всех примерах разностных краевых задач, решения которых мы запишем с помощью конечных рядов Фурье, используется выражение
Заметим, что
где 
Другими словами, базис (2) состоит из собственных функций оператора 
переводящего функции 
из пространства функций, обращающихся в нуль при 
и 
, в функции того же пространства по формулам
Собственной функции 
соответствует собственное значение
