4. Обсуждение понятия спектра семейства операторов {Rh}.

Начнем с того, что обратим внимание на аналогию между определением точки спектра семейства операторов и следующим определением точки спектра какого-либо оператора R, которое приводится в курсах функционального анализа. Мы будем в качестве R брать оператор при некотором фиксированном .

Точка на комплексной плоскости называется точкой спектра оператора если при любом положительном неравенство

имеет решение и, принадлежащее пространству на котором определен оператор

При сравнении определений точки спектра семейства операторов и точки спектра оператора может возникнуть мысль, что спектр семейства состоит из тех точек комплексной плоскости, которые получаются путем предельного перехода при из точек спектра оператора когда по всевозможным подпоследовательностям. Но, вообще говоря, это предположение ошибочно.

Рассмотрим оператор задаваемый равенствами

Оператор (11) действуете (M+1)-мерном линейном пространстве и описывается матрицей (5). Известно, что спектр матрицы состоит из ее собственных значений, т. е. из корней Я уравнения Мы вычислили эти собственные значения в п. 1. Это Таким образом, спектр оператора при любом h состоит из двух точек , не зависящих от h. Однако спектр семейства операторов как будет показано в § 45, состоит не только из этих двух точек, чего, казалось бы, можно было ожидать, а еще и из всех точек круга радиуса с центром в точке (рис. 27, стр. 248). При спектр семейства операторов лежит в единичном круге а при этот необходимый спектральный признак устойчивости не выполнен: неравенство не может выполняться равномер но по

На рис. 53 приведены графики зависимости величин от в случае для различных значений h. В этом случае спектр каждого оператора состоит из двух точек лежащих внутри единичного круга. Этим предопределяется поведение графика величины при больших значениях Величина стремится к нулю при т. е. ось абсцисс является асимптотой (в подробных курсах алгебры доказывается, что норма степеней матрицы стремится к нулю при росте показателя степени, если все собственные значения матрицы по модулю меньше единицы)

Рис. 53.

То обстоятельство, что спектр семейства операторов не целиком лежит в единичном круге, сказывается на поведении величины при и при не слишком больших значениях Наибольшее чение величины на отрезке произвольная положительная постоянная) быстро растет при уменьшении h. Но это и означает неустойчивость на отрезке в то время как поведение при связанное со спектром каждого отдельного оператора совершенно несущественно при исследовании устойчивости.