§ 14. Достаточный признак устойчивости разностных схем решения задачи Коши

В этом параграфе мы покажем, как провести исследование устойчивости разностных схем решения дифференциальной задачи с начальными условиями (задачи Коши). Мы сделаем это с помощью рассмотрения характерных примеров разностных схем, приближающих задачи

Чтобы понятие устойчивости разностной схемы имело смысл, должны быть определены линейные нормированные пространства . Этим пространствам принадлежат подлежащая приближенному вычислению таблица искомого

решения и дифференциальной задачи, и правая часть разностной схемы.

Напомним, что разностная схема с линейным оператором называется устойчивой, если задача имеет единственное решение при любом причем выполнено условие

При решении задачи Коши сеточную функцию обычно вычисляют последовательно, переходя от одной точки разностной сетки к другой, с нею соседней. Если при каждом таком переходе, или, как принято говорить, шаге вычислительного процесса, получать оценку роста решения то получим один из наиболее употребительных способов исследования устойчивости. Этот способ мы здесь и изложим.

1. Вводный пример.

Начнем с хорошо известной нам стейшей разностной схемы

для решения задачи (1). Эта схема может быть записана в рекуррентной форме:

Отсюда следует

Определим нормы в пространствах соответственно равенствами

Воспользуемся теперь тем, что выражение ограничено для

С помощью неравенства (9) из формулы (6) для заключаем:

Ввиду произвольности отсюда следует

и устойчивость доказана.