ЧАСТЬ ВТОРАЯ. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Часть вторая книги посвящена построению и исследованию разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом мы введем основные в теории разностных схем понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости, которые носят общий характер. Знакомство с этими понятиями, полученное в связи с обыкновенными дифференциальными уравнениями, позволит в дальнейшем, при изучении разностных схем для уравнений с частными производными, сосредоточиться на многочисленных особенностях и трудностях, характерных для этого очень многообразного класса задач.

ГЛАВА 4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИМЕРЫ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

В этой главе мы рассмотрим вводные примеры разностных схем, предназначенные только для предварительного знакомства с основными понятиями теории.

§ 8. Понятие о порядке точности и об аппроксимации

1. Порядок точности разностной схемы.

Этот параграф посвящен вопросу сходимости решений разностных уравнений при измельчении сетки к решениям дифференциальных уравнений, которые они приближают. Мы ограничимся здесь исследованием двух разностных схем численного решения задачи

Начнем с простейшей разностной схемы, основанной на использовании разностного уравнения

Разобьем отрезок [0, 1] на шаги длины h. Удобно выбрать где N — целое число. Точки деления занумеруем слева направо, так что . Значение и, полученное по разностной схеме в точке будем обозначать Зададим начальное значение. Положим . Из разностного уравнения (2) вытекает соотношение

откуда находим решение уравнения (2) при начальном условии :

Точное же решение задачи (1) имеет вид . Оно принимает в точке значение

Найдем теперь оценку величины погрешности приближенного решения (3). Эта погрешность в точке будет

Нас интересует, как убывает при увеличении числа точек разбиения, или, что то же самое, при уменьшении шага разностной сетки. Для того чтобы выяснить это, представим в виде

Таким образом, равенство (3) примет вид

так что

т. е. погрешность (5) стремится к нулю при и величина погрешности имеет порядок первой степени шага.

На этом основании говорят, что разностная схема имеет первый порядок точности (не путать с порядком разностного уравнения, определенным в § 1).

Решим теперь задачу (1) с помощью разностного уравнения

Это не так просто, как может показаться на первый взгляд. Дело в том, что рассматриваемая схема является разностным уравнением второго порядка, т. е. требует задания двух начальных условий тогда как интегрируемое уравнение (1) есть уравнение первого порядка и для него мы задаем только . Естественно и в разностной схеме положить .

Не ясно, как задавать их. Чтобы разобраться в этом, воспользуемся явной формой решения уравнения (7) (см. § 3 формулы ):

где

Разложения (9) по формуле Тейлора корней характеристического уравнения позволяют дать приближенные представления для Проведем подробно вывод такого представления -

Так как , то

Поэтому

Не будем проводить совершенно аналогичной выкладки для , а выпишем сразу результат:

Подставив приближенные выражения для в формулу (8), получим

Все дальнейшие выводы мы будем получать путем исследования этой формулы.

Заметим, что если коэффициент стремится при к конечному пределу b, то первое слагаемое правой части равенства (12) стремится к искомому решению задачи (1).

Так как

т. е. не сходится к определенному пределу, то для сходимости к пределу при второго слагаемого правой части равенства (12):

необходимо потребовать, чтобы выражение стремилось к нулю при

Подведем итог всему сказанному.

Для того чтобы решение разностного уравнения

сходилось к решению краевой задачи (1), необходимо выполнение условий

Напомним еще, что мы условились задавать равным b. Условия (14) подсказывают нам, как можно задавать Оказывается, достаточно, чтобы их при . В самом деле, при и поэтому при