§ 26. Принцип замороженных коэффициентов

Здесь мы изложим прием, весьма расширяющий класс нестационарных разностных задач, для исследования которых можно пользоваться спектральным признаком устойчивости. Этот необходимый признак устойчивости, изложенный в § 25 для исследования разностной задачи Коши с постоянными коэффициентами, можно применять и в случае разностной задачи Коши с «непрерывными», но не постоянными коэффициентами, а также для задач в ограниченных областях, когда граничные условия задаются не только при но и на боковых границах. Этим приемом можно пользоваться и для исследования нелинейных задач.

1. Замораживание коэффициентов во внутренних точках.

Сформулируем принцип замороженных коэффициентов, пользуясь

в качестве примера следующей разностной краевой задачей:

В этой разностной краевой задаче — некоторые условия, задаваемые соответственно на левой и правой границах сеточного отрезка .

Выберем производную внутреннюю точку области рассматривается задача (1), и «заморозим» коэффициенты задачи (1) в этой точке.

Возникающее разностное уравнение с постоянными коэффициентами

будем рассматривать теперь не при , а при всех целочисленных . Сформулируем теперь

Принцип замороженных коэффициентов. Для устойчивости задачи (1) необходимо, чтобы задача Коши для разностного уравнения с постоянными коэффициентами (2) удовлетворяла необходимому спектральному признаку устойчивости Неймана.

В обоснование принципа замороженных коэффициентов приведем следующее рассуждение на эвристическом уровне строгости.

При измельчении сетки коэффициент в окрестности точки за любое фиксированное число шагов сетки длины h по пространству и длины по времени ввиду непрерывности функции меняется все меньше и все меньше отличается от значения Добавим к этому, что расстояние от точки до границ отрезка, измеренное числом шагов сетки, стремится к бесконечности. Поэтому при мелкой сете возмущения, наложенные на решение задачи (1) в момент времени в окрестности точки развиваются (за малое время) примерно так же, как для задачи (2).

Понятно, что это рассуждение носит общий характер. Оно не зависит от числа пространственных переменных, числа

искомых функций и вида разностного уравнения или системы уравнений.

В § 25 мы рассматривали задачу Коши для уравнения вида (2) и нашли, что для выполнения условия Неймана отношение шагов сетки должно удовлетворять условию

Поскольку в силу принципа замороженных коэффициентов для устойчивости задачи (1) это условие должно выполняться при любых отношение шагов сетки должно быть подчинено условию

Принцип замороженных коэффициентов позволяет ориентироваться на эвристическом уровне строгости и при исследовании устойчивости нелинейных задач. Поясним это на следующей нелинейной задаче:

Используем следующую разностную схему:

В ней допускается изменение шага от слоя к слою. Эта схема позволяет последовательно, слой за слоем, вычислить , затем , и т. д.

Допустим, что мы уже добрались до слоя , вычислили , и хотим продолжать счет.

Как выбрать следующий шаг ? Можно принять, что нам предстоит сосчитать решение линейного разностного уравнения

с заданным переменным коэффициентом . Действительно, естественно считать, что значения близки к значениям гладкого решения дифференциальной задачи. Коэффициент тогда близок к непрерывной функции , которая на протяжении нескольких временных шагов мало изменяется.

Применение признака Неймана к уравнению с переменным коэффициентом дает ограничение (3) на соотношение шагов сетки, необходимое для устойчивости:

Отсюда следует рекомендация выбрать очередной шаг из условия

Численный эксперимент на машине подтверждает правильность этих эвристических рассуждений.

Если необходимое условие устойчивости, полученное путем рассмотрения задачи Коши с замороженными в произвольной точке области коэффициентами, окажется нарушенным, то устойчивости нельзя ожидать ни при каком задании граничных условий. Подчеркнем, однако, что принцип замороженных коэффициентов не учитывает влияния граничных условий. В случае выполнения необходимого условия устойчивости, вытекающего из принципа замороженных коэффициентов, устойчивость может иметь место при одних, и не иметь места при других граничных условиях. Теперь изложим признак К. И. Бабенко и И. М. Гельфанда, учитывающий влияние границ в случае задачи на отрезке.