2. Анализ явной схемы установления.
Решение
задачи (1), очевидно, удовлетворяет уравнениям
Вычитая эти равенства из уравнений (4) почленно, получим для погрешности
следующую разностную задачу:
Заметим, что сеточная функция
при каждом
обращается в нуль на границе Г. Ее можно считать элементом линейного пространства функций, определенных на сетке
и обращающихся в нуль в точках Г. Норму в этом пространстве определим, как в § 27, равенством
В § 27 мы получили представление для решения задачи (17) в виде конечного ряда Фурье. Эта задача только обозначением неизвестной функции отличается от разностной схемы (9) для погрешности
. Поэтому
где
— коэффициенты разложения начальной погрешности
в конечный ряд Фурье, а числа
задаются формулой
Числа
являются коэффициентами разложения погрешности
в ряд Фурье по ортонормальному базису
. Поэтому
Отсюда видно, что
При этом всегда можно задать
так, чтобы равенство достигалось. Для этого нужно взять
где
пара номеров, при которой
Таким образом, для стремления
к нулю при
нужно, чтобы выполнялось неравенство
Наиболее быстрое убывание погрешности получится при таком выборе
, при котором
принимает наименьшее возможное значение. Из формулы (11) находим самую левую и самую правую точки
(рис. 44). Увеличивая
, начиная от
мы вызываем сдвиг обеих этих точек влево. При том значении
, при котором эти точки будут симметричны относительно точки
дальнейшее увеличение
нецелесообразно. Действительно, при таком увеличении правая точка Яправ будет продолжать приближаться к нулю, но зато левая, которая станет больше нее по модулю
, будет удаляться от нуля.
При том
, при котором
и при больших
погрешность
вообще не будет стремиться к нулю.
Итак, оптимальное
находим из условия (14). При этом
Рис. 44.