3. Сходящаяся разностная схема для интегрального уравнения.
Построим и исследуем разностную схему для вычисления решения интегрального уравнения
Будем предполагать, что
Зададим N, положим
и будет искать таблицу
значений решения на сетке
Для получения разностной схемы мы в равенстве
приближенно заменим интеграл суммой, пользуясь квадратурной формулой трапеций. Напомним эту формулу: для произвольной дважды дифференцируемой на отрезке
функции
справедливо приближенно равенство
причем погрешность есть величина
. После указанной замены интеграла получим
Выписанная система равенств записывается в форме
если положить
где
Построенная разностная схема аппроксимирует задачу
на решении и со вторым порядком относительно шага А, поскольку квадратурная формула трапеций имеет второй порядок точности. Проверим устойчивость. Пусть
решение системы (20), и пусть
— одна из тех компонент решения, которые по модулю не меньше каждой из остальных:
Из уравнения с номером
системы (20) следует
Поэтому
В частности, при
отсюда следует, что система (20) не имеет нетривиальных решений, а следовательно, однозначно разрешима при любой правой части
Неравенство (21) означает устойчивость (6) с постоянной
. Решение
задачи
в силу теоремы о сходимости удовлетворяет неравенству
где
— некоторая постоянная.