§ 39. Построение и свойства вариационно-разностных и проекционно-разностных схем

1. Определение вариационно-разностных и проекционно-разностных схем.

Пусть в замкнутой области D, где требуется найти решение некоторой вариационной задачи для каждого N из некоторой монотонно возрастающей последовательности натуральных чисел, указано N точек . Совокупность этих точек будем называть сеткой, отвечающей заданному N. Пусть, далее, для численного решения вариационной задачи по методу Ритца используется какая-нибудь система базисных функций

n-й член которой в точке принимает значение 1, а в остальных точках сетки обращается в нуль:

В этом случае линейная комбинация

в точке принимает значение Поэтому можно написать

Система уравнений Ритца для определения таких значений коэффициентов линейной комбинации, при которых: вариационный функционал достигает минимума на линейном рространстве, натянутом на базисные функции будет связывать таким образом значения самой искомой функции в точках выбранной нами сеткн , т. е. окажется некоторой разностной схемой.

Эта разностная схема в соответствии со способом ее построения называется вариационно-разностной.

Точно также, если воспользоваться базисными функциями удовлетворяющими условиям (1), для реализации-проекционного метода Галеркина, то уравнения Галеркина превратятся в некоторую разнестную схему, которую естественно назвать проекционно-разностной.

Для наглядности полезно заметить следующее. При заданных значениях линейную комбинацию

можно понимать как некоторую формулу, доопределяющую, или-восполняющую, функцию всюду в области D по ее значениям в точках сетки. Очевидно, что выбор сетки при заданном числе N, а также выбор системы базисных функций удовлетворяющих условию (1) и определяющих способ восполнения сеточной функции, неоднозначны. Так, например, в одномерном случае функцию можно было бы восполнять на отрезке по ее значениям на сетке кусочно-линейно, квадратически, строя интерполяционный многочлен Лагранжа и т. д. От выбора сетки и базисных функций зависят вид и свойства возникающей.

вариационно-разностной или проекционно-разностной схемы для данной вариационной или дифференциальной краевой задачи.

Рассмотрим примеры вариационно-разностных схем для задач (А) и (В) из § 38. При этом будем считать, что область D, где надо найти решение, выпуклая. (Область D называется выпуклой, если вместе с любыми двумя точками , принадлежащими области D, каждая точка отрезка с концами также принадлежит ).

Предположение о выпуклости области D не вязано с существом дела, но облегчит изложение.