Главная > Разностные схемы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3. Примеры.

Рассмотрим ряд интересных разностных задач Коши и применим для анализа их устойчивости спектральный признак Неймана. Начнем с разностных схем, аппроксимирующих дифференциальную задачу Коши

Пример 1. Рассмотрим разностную схему

Подставляя выражение вида (8) в соответствующее однородное разностное уравнение, после простых преобразований получим

В силу этой формулы спектр представляет собою окружность с центром в точке и радиусом (рис. 21). Ни при каком спектр не лежит в единичном круге. Условие устойчивости (12) всегда не выполнено.

Рис. 21.

В § 24 уже было установлено, что при любом не выполнено необходимое условие сходимости (и устойчивости) Куранта,

Фридрихса и Леви.

Пример 2. Рассмотрим следующую разностную схему

аппроксимирующую задачу (14) со вторым порядком относительно h (§ 22). Для нее определяется из уравнения

Обозначим по-прежнему . Заметив, что

получим

После простых преобразований найдем

Условие Неймана выполнено, если правая часть неотрицательна, , и не выполнено при .

Пример 3. Рассмотрим следующую разностную схему

для той же задачи Коши (14).

Подставляя в уравнение (18) выражение (8), после сокращений получим уравнение для к:

или

Рис. 22.

Спектр заполняет вертикальный отрезок длины проходящий через точку (рис. 22).

Если то условие (12) не выполняется — спектр не лежит в единичном круге. Если при шаг изменяется, как так что то самая далекая от точки точка имеет модуль

Условие в этом случае выполнено при

Ясно, что требование является гораздо более жестким условием на убывание шага по времени при стремлении шага h к нулю, чем требование которого было достаточно для выполнения признака Неймана для разностных схем (5) и (15), аппроксимирующих ту же задачу Коши (14).

Отметим, что признак Куранта, Фридрихса и Леви, как показано в конце § 24, позволяет утверждать неустойчивость обсуждаемой схемы только при а при суждений об устойчивости не дает и оказывается слабее признака Неймана.

Рассмотрим теперь две построенные в § 22 разностные схемы, Аппроксимирующие задачу Коши для уравнения теплопроводности

Пример 4. Явная разностная схема

при подстановке в соответствующее однородное разностное уравнение приводит к соотношению

Заметив, что

получим

При изменении а число пробегает отрезок вещественной оси (рис. 23).

Рис. 23.

Для устойчивости необходимо, чтобы левый конец этого отрезка лежал в единичном круге или

В случае, если точка отвечающая лежит левее точки —1. Гармоника порождает решение

не удовлетворяющее условию (б) ни при какой постоянной с. Пример 5. Рассмотрим теперь вторую схему

Аналогичные выкладки приводят к выражению

Спектр этой задачи заполняет отрезок

вещественной оси, и условие выполнено при любом .

Спектральный признак Неймана применим для исследования разностной задачи Коши и в случае, если пространственных переменных две или более.

Пример 6. Для задачи

возьмем сетку Заменяя производные разностными отношениями, построим разностную схему

Задавая т. е. в виде двумерной гармоники, зависящей от двух вещественных параметров найдем решение вида

Подставляя это выражение в разностное уравнение, после сокращений и тождественных преобразований найдем

При изменении вещественных точка пробежит отрезок

вещественной оси. Условие устойчивости выполняется, если .

Приведем пример, иллюстрирующий применение признака Неймана для разностных уравнений, связывающих значения искомой функции не на двух, а на трех временных слоях. Пример 7. Задачу Коши для волнового уравнения

аппроксимируем разностной схемой

Подставляя в разностное уравнение решение вида (8), получим после простых преобразований следующее уравнение для определения :

Произведение корней этого уравнения равно единице. Если дискриминант

квадратного уравнения отрицателен, то корни комплексно-сопряженные и равные единице по модулю. В случае дискриминант остается отрицательным при всех а. На рис. 24, а изображен спектр в этом случае. Он заполняет часть единичной окружности. В случае спектр заполняет всю окружность. При по мере увеличения а от нуля до корни движутся из точки по единичной окружности один по часовой стрелке, а другой против часовой стрелки, пока не сольются в точке а затем один из корней пойдет по вещественной оси из точки влево, другой вправо, так как они вещественны и Условие устойчивости выполнено при .

Рис. 24.

Рассмотрим задачу Коши для следующей гиперболической системы дифференциальных уравнений, описывающей распространение звука:

Положим

и запишем (25) в векторной форме:

где

Исследуем две разностные схемы, аппроксимирующие задачу (25).

Пример 8. Рассмотрим разностную схему

Ищем решение векторного однородного разностного уравнения в виде (13):

Подставляя это выражение в разностное уравнение (26), приходим к равенству

или

которое можно рассматривать как векторную запись системы линейных уравнений для определения компонент вектора Запишем систему (27) в развернутой форме:

Система линейных уравнений (28) имеет нетривиальное решение лишь при тех , при которых определитель системы (28) обращается в нуль:

Отсюда

Корни пробегают окружности радиуса с центрами в точках и соответственно (рис. 25). Условие устойчивости Неймана не выполнено ни при каком .

Пример 9. Рассмотрим разностную схему

аппроксимирующую задачу (25) со вторым порядком и аналогичную схеме (15) для скалярного случая (14). Условие существования нетривиального решения вида (13) у векторного уравнения 425) состоит, как и в примере 8, в том, чтобы обращался в нуль определитель системы, возникающей для определения .

Рис. 25.

Приравняв этот определитель нулю, получим квадратное уравнение относительно , из которого находим

Эти формулы аналогичны (16), и, как в (17), получим

Спектр, задаваемый формулами (30), лежит в единичном круге При

1
Оглавление
email@scask.ru