3. Примеры.

Рассмотрим ряд интересных разностных задач Коши и применим для анализа их устойчивости спектральный признак Неймана. Начнем с разностных схем, аппроксимирующих дифференциальную задачу Коши

Пример 1. Рассмотрим разностную схему

Подставляя выражение вида (8) в соответствующее однородное разностное уравнение, после простых преобразований получим

В силу этой формулы спектр представляет собою окружность с центром в точке и радиусом (рис. 21). Ни при каком спектр не лежит в единичном круге. Условие устойчивости (12) всегда не выполнено.

Рис. 21.

В § 24 уже было установлено, что при любом не выполнено необходимое условие сходимости (и устойчивости) Куранта,

Фридрихса и Леви.

Пример 2. Рассмотрим следующую разностную схему

аппроксимирующую задачу (14) со вторым порядком относительно h (§ 22). Для нее определяется из уравнения

Обозначим по-прежнему . Заметив, что

получим

После простых преобразований найдем

Условие Неймана выполнено, если правая часть неотрицательна, , и не выполнено при .

Пример 3. Рассмотрим следующую разностную схему

для той же задачи Коши (14).

Подставляя в уравнение (18) выражение (8), после сокращений получим уравнение для к:

или

Рис. 22.

Спектр заполняет вертикальный отрезок длины проходящий через точку (рис. 22).

Если то условие (12) не выполняется — спектр не лежит в единичном круге. Если при шаг изменяется, как так что то самая далекая от точки точка имеет модуль

Условие в этом случае выполнено при

Ясно, что требование является гораздо более жестким условием на убывание шага по времени при стремлении шага h к нулю, чем требование которого было достаточно для выполнения признака Неймана для разностных схем (5) и (15), аппроксимирующих ту же задачу Коши (14).

Отметим, что признак Куранта, Фридрихса и Леви, как показано в конце § 24, позволяет утверждать неустойчивость обсуждаемой схемы только при а при суждений об устойчивости не дает и оказывается слабее признака Неймана.

Рассмотрим теперь две построенные в § 22 разностные схемы, Аппроксимирующие задачу Коши для уравнения теплопроводности

Пример 4. Явная разностная схема

при подстановке в соответствующее однородное разностное уравнение приводит к соотношению

Заметив, что

получим

При изменении а число пробегает отрезок вещественной оси (рис. 23).

Рис. 23.

Для устойчивости необходимо, чтобы левый конец этого отрезка лежал в единичном круге или

В случае, если точка отвечающая лежит левее точки —1. Гармоника порождает решение

не удовлетворяющее условию (б) ни при какой постоянной с. Пример 5. Рассмотрим теперь вторую схему

Аналогичные выкладки приводят к выражению

Спектр этой задачи заполняет отрезок

вещественной оси, и условие выполнено при любом .

Спектральный признак Неймана применим для исследования разностной задачи Коши и в случае, если пространственных переменных две или более.

Пример 6. Для задачи

возьмем сетку Заменяя производные разностными отношениями, построим разностную схему

Задавая т. е. в виде двумерной гармоники, зависящей от двух вещественных параметров найдем решение вида

Подставляя это выражение в разностное уравнение, после сокращений и тождественных преобразований найдем

При изменении вещественных точка пробежит отрезок

вещественной оси. Условие устойчивости выполняется, если .

Приведем пример, иллюстрирующий применение признака Неймана для разностных уравнений, связывающих значения искомой функции не на двух, а на трех временных слоях. Пример 7. Задачу Коши для волнового уравнения

аппроксимируем разностной схемой

Подставляя в разностное уравнение решение вида (8), получим после простых преобразований следующее уравнение для определения :

Произведение корней этого уравнения равно единице. Если дискриминант

квадратного уравнения отрицателен, то корни комплексно-сопряженные и равные единице по модулю. В случае дискриминант остается отрицательным при всех а. На рис. 24, а изображен спектр в этом случае. Он заполняет часть единичной окружности. В случае спектр заполняет всю окружность. При по мере увеличения а от нуля до корни движутся из точки по единичной окружности один по часовой стрелке, а другой против часовой стрелки, пока не сольются в точке а затем один из корней пойдет по вещественной оси из точки влево, другой вправо, так как они вещественны и Условие устойчивости выполнено при .

Рис. 24.

Рассмотрим задачу Коши для следующей гиперболической системы дифференциальных уравнений, описывающей распространение звука:

Положим

и запишем (25) в векторной форме:

где

Исследуем две разностные схемы, аппроксимирующие задачу (25).

Пример 8. Рассмотрим разностную схему

Ищем решение векторного однородного разностного уравнения в виде (13):

Подставляя это выражение в разностное уравнение (26), приходим к равенству

или

которое можно рассматривать как векторную запись системы линейных уравнений для определения компонент вектора Запишем систему (27) в развернутой форме:

Система линейных уравнений (28) имеет нетривиальное решение лишь при тех , при которых определитель системы (28) обращается в нуль:

Отсюда

Корни пробегают окружности радиуса с центрами в точках и соответственно (рис. 25). Условие устойчивости Неймана не выполнено ни при каком .

Пример 9. Рассмотрим разностную схему

аппроксимирующую задачу (25) со вторым порядком и аналогичную схеме (15) для скалярного случая (14). Условие существования нетривиального решения вида (13) у векторного уравнения 425) состоит, как и в примере 8, в том, чтобы обращался в нуль определитель системы, возникающей для определения .

Рис. 25.

Приравняв этот определитель нулю, получим квадратное уравнение относительно , из которого находим

Эти формулы аналогичны (16), и, как в (17), получим

Спектр, задаваемый формулами (30), лежит в единичном круге При