6. Замена производных разностными отношениями.

В рассмотренных примерах для получения разностных схеммы заменяли производные в дифференциальном уравнении разностными отношениями. Этот прием весьма универсален и позволяет построить для любой дифференциальной краевой задачи, имеющей достаточно гладкое решение разностную схему с любым наперед заданным порядком аппроксимации.

Действительно, покажем, что производную произвольного порядка к можно заменить разностным отношением так, чтобы погрешность от такой замены для достаточно гладкой функции была любого наперед для заданного порядка относительно шага h разностной сетки. Воспользуемся для этого методом неопределенных коэффициентов.

Напишем равенство вида

и постараемся подобрать не зависящие от h неопределенные коэффициенты так, чтобы оно оказалось справедливым. Пределы суммирования можно взять произвольными, но так, чтобы порядок разностного отношения удовлетворял неравенству . По формуле Тейлора

Подставим это выражение вместо в (24) и приведем подобные члены. Получим

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получим

следующую систему уравнений для определения :

Если , то выписанные равенств образуют линейную систему относительно того же числа неизвестных а. Определитель этой системы

есть известный определитель Вандермонда и отличен от нуля. Таким образом, существует единственный набор коэффициентов удовлетворяющий системе (25). Если , то, очевидно, таких систем коэффициентов а, много.

Так, например, существует единственное разностное отношение первого порядка вида

приближающее с первым относительно h порядком. Оно получается при

Точно так же существует единственное разностное отношение первого порядка вида

приближающее с первым относительно порядком:

Среди разностных отношений второго порядка вида

существует бесконечно много приближающих с первым порядком относительно , но только одно со вторым порядком. Решая систему (25) для этого случая увидим, что при

Если мы хотим приблизить с порядком то надо, чтобы . Поэтому среди разностных отношений вида

только одно является искомым. Решая систему (26) для определения коэффициентов , получим

т. е. уже неоднократно использованное нами равенство