3. Обсуждение спектрального признака устойчивости.

Выше было показано, что при выборе норм в соответствии с условиями (6) и (7) расположение спектра оператора в круге

необходимое для ограниченности необходимо также и для устойчивости.

Пусть условие (13) грубо нарушено, так что при достаточно малых имеется собственное число , по модулю существенно превосходящее единицу, скажем,

где не зависит от . Тогда разностная схема (1) неустойчива при любом разумном выборе норм II и даже если и не ограничивать свободу этого выбора условиями (6) и (7).

Это высказывание нельзя назвать теоремой хотя бы потому, что оно оперирует термином «разумный», не получившим точного определения. Объясним, что мы имеем в врду.

При любом разумном выборе нормы можно так подобрать положительное чтобы при всех достаточно малых А выполнялось неравенство

В противном случае, очевидно, не может быть выполнено равенство (4) из § 13:

Далее, при любом разумном выборе нормы можно так подобрать чтобы при всех достаточно малых А выполнялось неравенство

где через F обозначен максимум модулей компонент элемента пространства . В противном случае разностная схема (1) не может аппроксимировать задачу на решении и: ведь мы видели, что компоненты невязки возникающей при подстановке в левую часть приближающей задачу разностной схемы (1), стремятся к нулю не быстрее, чем некоторая степень шага h.

Приведем теперь разностную схему (1) к виду (2), полагая для этого

Для определенности мы считаем, что рассматривается разностное уравнение, которое связывает три последовательных значения .

Если правую часть разностного уравнения, на основе которого построена схема (1), положить равной нулю, то при некотором будет выполнено неравенство

поскольку соотношения, связывающие и входящие в разностную схему, имеют вид

либо им аналогичный.

Теперь ясно, что всегда можно добиться справедливости неравенств (6) и (7), положив . В самом деле (см. также (14) и (17)),

Таким образом, неравенство (6) примет вид

Это означает неустойчивость, потому что при любых как легко видеть,

Этим мы закончим изложение соображений, показывающих, что если среди собственных значений матрицы есть корень, удовлетворяющий неравенству , то она неустойчива при любом разумном выборе норм.

Воспользуемся необходимым спектральным признаком устойчивости (13) и докажем, что схема, рассмотренная в § 9, действительно неустойчива. В § 9 строгого исследования неустойчивости не могло быть проведено хотя бы потому, что там в нашем распоряжении еще не было аккуратных определений. Интересующая нас разностная схема приближает задачу

и имеет вид

Положив , приведем схему (19) к виду (2), где

Собственные значения матрицы суть корни квадратного уравнения

Первый корень при стремится к числу 2, так что при малых

Поэтому нельзя ожидать устойчивости ни при каком разумном выборе норм.

В частности, если мести нормы равенствами

то будут выполнены оба условия (6), (7), при которых неравенство (3) необходимо для устойчивости. Однако если , и устойчивости нет.

Как мы видели, грубое нарушение необходимого спектрального признака устойчивости (13):

например наличие собственного числа X оператора удовлетворяющего оценке

свидетельствует о непоправимой за счет выбора норм неустойчивости.

Подчеркнем, однако, что расположение спектра оператора внутри круга еще не гарантирует устойчивости. Устойчивость в этом случае может зависеть от удачного выбора норм, как показывает пример следующей разностной схемы, которую мы уже рассматривали в § 14 с несколько иной точки зрения.

Разностную схему решения задачи выберем так:

Положив запишем ее в виде (2), где

Оба собственных числа матрицы равны единице. В случае решение задачи имеет вид

Используем два набора норм:

Читатель легко убедится, что в обоих случаях выполнены условия (6), (7) и условия (28) из § 14, при которых устойчивость равносильна оценке

При выборе норм по формулам 1) эта оценка не выполняется. Например, полагая получим

При выборе норм по формулам 2) устойчивость имеется: при произвольном имеем

Но поэтому

и

На практике часто ограничиваются проверкой того, выполняется ли необходимый спектральный признак устойчивости. Если он выполнен, дальнейшую проверку пригодности схемы устанавливают путем экспериментального счета по этой схеме, не заботясь о явном конструировании норм. Способам такой проверки посвящен § 18.