2. Необходимое спектральное условие устойчивости.

Для устойчивости задачи Коши (1) по начальным данным необходимо, чтобы условие (6) выполнялось, в частности, если есть какая-нибудь гармоника

где а — вещественный параметр. Но решение задачи (5) при начальном условии (7) имеет вид

где определяется путем подстановки выражения (8) в однородное разностное уравнение задачи (5):

Для решения (8) справедливо равенство

Поэтому для выполнения условия (6) необходимо, чтобы при всех вещественных а выполнялось неравенство

или

где - некоторая постоянная, не зависящая от . Это и есть необходимое спектральное условие Неймана применительно к рассматриваемому примеру. Спектральным оно называется по следующей причине. Существование решения вида (8) показывает, что гармоника является собственной функцией оператора перехода

который в силу разностного уравнения (5) ставит в соответствие сеточной функции определенной на слое сетки, сеточную функцию определенную на слое Число является соответствующим этой гармонике собственным числом оператора перехода. Линия, которую пробегает точка на комплексной плоскости, когда а пробегает вещественную ось, вся состоит из собственных значений и является спектром оператора перехода.

Таким образом, необходимое условие устойчивости (10) можно сформулировать так: спектр оператора перехода, соответствующего разностному уравнению задачи (5), должен лежать в круге радиуса на комплексной плоскости. В нашем примере спектр (9) не зависит от т. Поэтому условие (10) равносильно требованию, чтобы спектр лежал в единичном круге

Воспользуемся сформулированным признаком для анализа устойчивости задачи (1). Спектр (9) представляет собою окружность с центром в точке и радиусом на комплексной плоскости. В случае эта Окружность лежит внутри единичного круга (касаясь его в точке при совпадает единичной окружностью, а при 1 лежит вне единичного круга (рис. 20). Соответственно необходимое условие устойчивости () выполнено при и не выполнено при . В п. 3 § 21 мы исследовали рассматриваемую разностную схему и показали, что при она устойчива, а при неустойчива.. Таким образом, необходимое условие устойчивости Неймана оказалось в данном случае Достаточно чувствительным, чтобы в точности отделить случай устойчивости от случая неустойчивости.

Рис. 20.

В общем случае задачи Коши для разностных уравнений и систем разностных уравнений необходимый спектральный признак устойчивости Неймана состоит в том, что спектр разностной задачи при всех достаточно малых h должен лежать в круге

на комплексной плоскости, как бы мало ни было заранее выбранное положительное число .

Заметим, что если для рассматриваемой разностной задачи спектр окажется не зависящим от h (и от ), то условие (12) равносильно требованию, чтобы спектр лежал в единичном круге

Под спектром разностной задачи в условии (12) понимается совокупность всех при которых соответствующее однородное разностное уравнение (или система уравнений) имеет решение вида

где — число (единица), если речь идет о скалярном разностном уравнении, и числовой вектор, если речь идет о векторном разностном уравнении, т. е. о системе скалярных разностных уравнений.

Если необходимое условие Неймана (12) не выполнено, то ни при каком разумном выборе норм нельзя ожидать устойчивости, а в случае его выполнения можно надеяться, что при некотором разумном выборе норм устойчивость имеет место. Аналогичный вопрос о независимости спектрального признака устойчивости от выбора норм мы уже обсуждали в связи с разностными схемами для обыкновенных дифференциальных уравнений в § 15.