§ 12. Определение устойчивости разностной схемы. Сходимость как следствие аппроксимации и устойчивости

1. Определение устойчивости.

Пусть для приближенного вычисления решения и дифференциальной краевой задачи

составлена разностная схема

которая аппроксимирует задачу (1) на решении и с некоторым порядком . Это значит, что невязка

возникающая при подстановке таблицы решения и в уравнение (2), удовлетворяет оценке вида

где некоторая постоянная, не зависящая от h. Легко проверить, что разностная схема

аппроксимирует

на решении и с первым порядком относительно h. Однако, как показано в § 9, решение , доставляемое этой разностной схемой, не стремится к при

Таким образом, аппроксимации, вообще говоря, недостаточно для сходимости. Нужна еще устойчивость.

Определение 1. Будем называть разностную схему (2) устойчивой, если существуют числа такие, что при любом и любом разностная задача

полученная из задачи (2) добавлением к правой части возмущения имеет одно и только одно решение причем это решение отклоняется от решения невозмущенной задачи (2) на сеточную функцию удовлетворяющую оценке

где С — некоторая постоянная, не зависящая от

В частности, неравенство (5) означает, что малое возмущение правой части разностной схемы (2) вызывает равномерно относительно h малое возмущение решения.

Пусть оператор отображающий в линейный. Тогда приведенное выше определение устойчивости равносильно следующему:

Определение 2. Будем называть разностную схему (2) с линейным оператором устойчивой, если при любом уравнение имеет единственное решение причем

где С — некоторая постоянная, не зависящая от

Докажем равносильность обоих определений устойчивости в случае линейного оператора

Сначала установим, что из устойчивости разностной схемы (2) в смысле определения 2 следует устойчивость в смысле определения 1. Пусть линейная задача (2) при всех рассматриваемых и произвольном имеет единственное решение, причем выполнена оценка (6). Вычитая из равенства. равенство (2), получим

откуда в силу (6) следует оценка (5) при произвольном а значит, и устойчивость в смысле определения 1.

Покажем теперь, что устойчивость в смысле определения 1 влечет за собой устойчивость в смысле определения 2. В силу Определения 1 при некоторых и пру произвольных существуют и единственны решения уравнений -

Положим и вычтем эти равенства почленно.

Получим

причем в силу (5)

Очевидно, что, изменив обозначения решения и правой части уравнения последний результат можно сформулировать так: при произвольных задача (2) имеет единственное решение Это решение удовлетворяет оценке (6). Однако в таком случае уравнение (2) имеет единственное решение и выполнена оценка (6) не только для всех удовлетворяющих оценке , но к вообще для всех , т. е. имеет место устойчивость в смысле определения 2.

В самом деле, пусть . Докажем однозначную разрешимость и оценку (6) в этом случае. Положим

Для получим уравнение

причем

Поэтому уравнение однозначно разрешимо, причем

В силу формул, устанавливающих связь между а также между и отсюда следует однозначная разрешимость задачи (2) и справедливость оценки (6) при произвольном рассматриваемом