2. Определение хорошей обусловленности.

Обычно при изучении разностных схем для приближенного решения дифференциальных краевых задач рассматривают не одну задачу, а целое семейство таких задач, возникающих при все более мелких шагах сетки. Тогда число N можно считать параметром, от которого зависит это семейство. Измельчению сетки соответствует возрастание

Будем говорить, что разностная краевая задача (1), (2) с коэффициентами ограниченными в совокупности, хорошо обусловлена, если при всех достаточно больших N она имеет одно и только одно решение при произвольных правых частях и если числа образующие решение, удовлетворяют оценке

где М — некоторое число, не зависящее от

Иногда к числу хорошо обусловленных относят и те задачи, для которых М нельзя выбрать постоянным, но можно выбрать растущим не быстрее заданной степени N, например или

Приведенное определение хорошей обусловленности равносильно одному из принятых в теории систем линейных уравнений, когда мерой обусловленности системы уравнений с матрицей А считают число произведение норм матриц

Выполнение неравенства (5) означает, что чувствительность решения к ошибкам (например, ошибкам измерения или округления), допущенным при задании правых частей не возрастает с ростом числа N. Действительно, если вместо задать соответственно то решение получит приращение . Это приращение ввиду линейности задачи (1), (2) является решением задачи

и в силу (5) удовлетворяет оценке

Далеко не всякая однозначно разрешимая краевая задача (1), (2) является хорошо обусловленной. Например, если правым частям задачи

придать приращения

то решение получит приращение

Отсюда

Возмущение при задании вызвало быстро возрастающее с ростом N возмущение решения. Число М в неравенстве (5) заведомо нельзя взять растущим медленнее экспоненты