2. Представление решений разностных схем для уравнения теплопроводности на отрезке.
В качестве первого примера, где удается представить решение в йиде конечного ряда Фурье, рассмотрим простейшую разностную схему
для задачи теплопроводности на отрезке
Задачу (10) перепишем так:
Здесь Е — тождественное отображение: 
— оператор перехода от 
или оператор перехода со слоя на слой. Относительно сеточных функций 
аргумента m
предполагается, что при каждом фиксированном 
они принадлежат рассмотренному пространству, 
Будем искать решения уравнения (12) в виде
Подставляя это выражение в уравнение и сокращая обе части на 
получим в силу (9) следующее выражение для 
Ввиду линейности уравнения (12) выражейие
является его решением при любых произвольных постоянных с, При 
получаем
Выберем в качестве 
коэффициенты разложения заданной функции 
в конечный ряд Фурье, т. е. положим
Тогда решение (13)
будет удовлетворять заданному начальному условию 
Формула (14) и есть искомое представление решения задачи в виде конечного ряда Фурье.
Коэффициенты 
разложения функции 
аргумента 
при фиксированном 
по ортонормальному базису 
имеют вид
Поэтому, принимая во внимание равенство Парсеваля, получим
причем строгое равенство 
достигается, если в качестве 
используется та 
, для которой 
наибольшее.
Если 
, то имеет место неравенство
Положительно определенные квадратичные формы вида
где А — матрица квадратичной формы, напоминают выражения для энергии в уравнениях математической физики. Поэтому неравенства вида
для решений разностных краевых задач называют обычно энергетическими.
Таким образом, оценка (15) есть простейшее энергетическое неравенство. В случае выполнения энергетического неравенства выбор норм 
естественно связать с формой 
положив, в частности, 
Подобные нормы называются энергетическими.
Неравенство 
выполнено, как 
легко видеть, 
случае, если
При
и при достаточно малых значениях h найдутся 
. Тогда устойчивости нет ни при каком разумном выборе норм. Рассмотрим разностную схему более общего вида
для той же дифференциальной задачи о теплопроводности (11) Здесь 
— параметр.
Найдем решения вида
где 
подлежат определению.
Подставляя это выражение в разностное уравнение, получим соотношение, которому должно удовлетворять 
Отсюда
По-прежнему
Энергетическое неравенство (15) имеет место, если
или
Очевидно, что при 
это неравенство — и энергетическое неравенство (15) также выполняется, каково бы ни было 
. Если 
то разностная схема превращается в уже рассмотренную явную схему и, как мы видели, для выполнения энергетического неравенства (15) при всех h нужно, чтобы было 
