5. Сопоставление вариационно-разностных, схем с общими вариационными и обычными разностными.

Вариационно-фазностные схемы — синтез вариационных и обычных разностных схем. Одним из основных достоинств метода Галеркина—Ритца является большая свобода в выборе базисных функций. Если заранее известно, что искомое решение и принадлежит некоторому конкретному узкому функциональному классу U, имеющему быстроубывающую последовательность -мерных поперечников то в принципе можно так выбрать базисные функции, чтобы получить хорошую точность уже при малых N и, следовательно, при малом объеме вычислений. Это давало возможность хорошим вычислителям численно решать избранные задачи еще до появления быстродействующих вычислительных машин. Однако фактическое построение базисных функций с хорошими свойствами — трудная задача.

В вариационно-разностном методе свобода выбора базисных функций ограничена структурой, которая определяется разбиением области на множество многоугольников, вершины которых служат точками сетки, и выбором способа доопределения функций с сетки на всю область. Это ограничение в свободе выбора базисных функций приносит зато некоторый автоматизм в их построении. При этом остается определенная возможность учета особенностей класса функций U, которому принадлежит решение, за счет использования разбиений на неравные многоугольники и за счет выбора способа восполнений,

который в каждом из многоугольников разбиения может быть осуществлен, как и само разбиение, с использованием априорной информации о поведении решения в этом многоугольнике.

С другой стороны, вариационно-разностные схемы сохраняют удобство обычных разностных схем, состоящее в простой структуре матриц, которые содержат много нулевых элементов. Это достигается за счет использования базисных функций, каждая из которых отлична от нуля лишь в малой области, примыкающей к одной из точек сетки. Сохраняется наглядность разностных схем, в которых искомыми являются значения интересующей нас. функции в точках сетки, а не какая-то вспомогательная система чисел, не имеющая непосредственного наглядного истолкования. В то же время вариационно-разностный подход позволяет преодолеть трудности, которые возникают при использовании разностных схем на нерегулярных сетках и при учете граничных условий в криволинейных областях.