3. Представление решений разностных схем для двумерной задачи теплопроводности.

Рассмотрим теперь двумерную задачу теплопроводности

Здесь через Г обозначена боковая поверхность параллелепипеда .

Построим сетку причем будем считать , где М — натуральное. За примем точки сетки,

лежащие внутри и на границе параллелепипеда

Обозначим

Операторы совершенно аналогичны, только первый действует по переменному , в то время как — параметры, а второй — по переменному , а — для него параметры. Простейшая разностная схема для задачи (16) есть

Ищем решения разностного уравнения при условии вида

Заметим, что

Поэтому для получаем выражение

или

Решение

удовлетворяет условиям на боковой границе при любом выборе постоянных . При это решение принимает вид

Для того чтобы выполнялось заданное начальное условие

в качестве надо взять коэффициенты Фурье функции , т. е.

В силу формулы (18) коэффициентом при в разложении в ряд Фурье служит число Поэтому

При любом фиксированном в силу этого можно написать

Равенство достигается, если в качестве задана та собственная функция оператора перехода со слоя на слой собственное число которой принимает среди всех собственных чисел наибольшее по модулю значение.

Если шах то имеет место энергетическое неравенство

Когда пробегают значения собственные числа пробегают некоторое конечное множество точек на вещественной прямой, лежащее левее точки Самая левая точка получается при

Поэтому неравенство выполняется при

Для неявной разностной схемы

решение имеет вид

где

а коэффициенты си определяются по-прежнему формулой (19). Здесь и энергетическое неравенство (20) имеет место при произвольном значении .