6. Обоснование критерия хорошей обусловленности краевой задачи с постоянными коэффициентами.

Докажем сформулированный в п. 4 критерий хорошей обусловленности краевой задачи

а именно, следующее утверждение. Для хорошей обусловленности задачи (10) необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения

удовлетворяли неравенствам вида

где — некоторая положительная постоянная.

Достаточность. Решение задачи (10) представим в виде суммы двух сеточных функций, положив

где — решение задачи

а — решение задачи

Решение задачи (19) имеет вид где А и В определяются из условий

Обозначив из (21) получаем

Поэтому при всех

Если n и достаточно большие числа, то коэффициент в неравенстве (22) сколь угодно мал. Например, при

Здесь использовано известное неравенство

при Таким образом,

так что из (22) при получим

Оценим решение задачи (20). Представим в виде суммы

решений двух задач — задачи

и задачи

Ограниченное решение задачи (25) существует, единственно и удовлетворяет оценке (15) § 3:

где

В частности,

Для оценки решения задачи (26), совпадающей по своему виду с задачей (19), воспользуемся формулой (21) и оценкой (23), заменив только на

Теперь примем еще во внимание (27):

Объединяя оценки (27) и (28) с учетом получим

Следовательно, для решения исходной задачи, объединяя оценки (23) и (29), получим

Оценка (30) обеспечивает хорошую обусловленность причем за М можно принять

случае можно уточнить оценку (30), воспользовавшись вместо неравенства (23) неравенством (24):

или

где зависит только от и В, но не от N. Оценкой (31) мы будем пользоваться в § 6.

Необходимость. Заметим сначала, что если условия (12) не выполнены ни при каком положительном , то корни характеристического уравнения

по модулю либо оба меньше единицы, либо оба больше единицы, либо хотя бы один из них равен единице:

Покажем, что во всех трех случаях хорошей обусловленности нет.

Для этого во всех трех случаях построим некоторые функции так, чтобы они были решениями задачи вида

и чтобы выполнялись неравенства

где — некоторая неограниченно возрастающая при величина.

В случае (32), считая для определенности, что положим

Тогда

Правая часть в задаче (35) есть

Отсюда

Сопоставляя (37) и (38), видим, что в неравенстве (36) надо положить

так что экспоненциально растет с ростом N.

Случай (33) аналогичен случаю (32).

Если выполнено (34), то положим

Тогда, очевидно,

Для получаем оценку

Из (39) и (40) следует, что неравенство (36) выполнено, если

Таким образом, здесь нет хорошей обусловленности, если понимать под ней требование независимости М от N в неравенстве (5).