§ 42. Использование частных решений при конструировании оператора перехода

В § 41 рассказывалось о приведении разностной краевой задачи

к виду

При этом оператор можно выбирать по-разному. Цель приведения к виду (2) состоит в том, чтобы по оценкам величин можно было судить об устойчивости. Было показано, что оценка

обеспечивает устойчивость, если только оператор и нормы, выбраны так, что выполняются условия:

где пробегает всё значения, при которых определено;

В примерах, рассмотренных в § 41, оператор удавалось выбрать достаточно простым и в то же время обеспечить выполнение условий 1° и 2°. Однако могут встретиться и такие примеры — один из них мы рассмотрим в этом параграфе, — когда условие Г является слишком жестким, так что оператор с учетом этого условия нельзя взять достаточно простым.

В этом параграфе будет показано, что оценка (3) остается достаточной для устойчивости, если условие 1° заменить менее ограничительным условием 1. Благодаря замене условия 1° условием 1 оператор при приведении разностной схемы к виду (2) можно выбрать тем проще, чем больше сведений имеется о решениях рассматриваемой разностной задачи (1). В частности, структура оператора пригодного при приведении разностной схемы к виду (2), упрощается, если известны некоторые частные решения разностного уравнения, входящего в состав разностной краевой задачи (1). Соответственно упрощается доказательство неравенства (3), из которого вытекает устойчивость.

Все это мы поясним позже примерами. Перейдем к формулированию условия 1.

Пусть какая-нибудь сеточная функция на зависящая, вообще говоря, от При приведении разностной схемы (1) к каноническому виду (2) мы расслаиваем сеточную функцию на функции Проведем такое же расслоение функции на функции и предположим, что удовлетворяют неравенствам вида

где К — некоторая постоянная, а пробегает те значения при которых определено.

Условие 1. Существует функция удовлетворяющая неравенствам (4) и такая, что справедливы оценки

Если в качестве можно взять то выполняется не только условие 1, но и более жесткое условие 1°.

Теорема. Если разностная задача (1) записывается в каноническом виде (2) с соблюдением условий 1 и 2°, то из оценки (3) вытекает неравенство

означающее устойчивость. Постоянная с может быть выбрана по формуле

Доказательство. Введем функцию для которой из уравнения

вытекает равенство

где

В силу условия 1 имеем

Пользуясь равенством (6) и неравенством (3), без труда находим, как мы много раз делали,

Далее,

Это следует из неравенств

второе из которых совпадает с условием 2°, а третье — с нера венством (4) при

Подставив оценку (8) для в (7), находим

Остается только заметить, что

Благодаря замене условия Г условием 1 при исследовании устойчивости можно распределить трудности между построением такого оператора нормы степеней которого не слишком трудно оценить, и доказательством существования функции . Потребовав с самого начала, чтобы условие 1 выполнялось при , т. е. чтобы было выполнено условие 1°, мы накладываем тем самые жесткие ограничения на выбор оператора может оказаться, что любой оператор который нам удается подобрать с выполнением условия 1°, имеет сложный вид,

так что оценка нормы его степеней слишком трудна. С другой стороны, выбрав оператор предельно простым, скажем единичным, и не увязав его с разностной задачей, мы перенесем всю трудность на проверку выполнения условия 1, т. е. на получение оценок для функции которую в этом случае наиболее естественно выбрать совпадающей с Введение такого оператора и такой функции нисколько не продвинуло бы нас в исследовании устойчивости.

В качестве оператора надо стараться брать как можно более простой оператор. Однако должен настолько полно учитывать свойства разностной задачи чтобы выполнение условия 1, т. е. существование функции было достаточно очевидным. Часто удается воспользоваться свободой в выборе , которая возникает благодаря тому, что вместо условия 1° должно выполняться лишь менее ограничительное условие 1, для облегчения доказательства устойчивости. В качестве функции при этом используются функции, которые строятся из решений разностных задач при правой части того или иного - специального вида.

Мы сейчас покажем на примерах, как пользоваться предлагаемым приемом.

Пример 1. Рассмотрим разностную краевую задачу (I) вида

Это разностная задача аппроксимирует задачу

при следующем выборе норм:

Для приведения задачи (9) к каноническому виду (2) положим

Оператор переводящий элемент пространства в элемент того же пространства, определим равенствами

Тогда, очевидно,

Ясно, что условие

не выполнено из-за того, что последняя компонента вектора есть и растет при этой задаче легко было бы задать оператор так, чтобы условие 1° выполнялось. Для этого достаточно в определении оператора равенство заменить равенством . Между тем нетрудно указать такое что условие 1

окажется выполненным. Левая часть этого неравенства записывается в виде

Поэтому для доказательства выполнения условия 1 достаточно построить функцию удовлетворяющую уравнению

которое можно записать в виде

или

B случае, если не зависит от t, эта задача имеет стационарное (не зависящее от ) решение

В общем случае зависит от , но при ограниченной норме содержащей член не может быстро меняться. Поэтому функция определенная равенством

хоть и не будет стационарным решением (да и вообще решением) задачи (11), но «почти» удовлетворяет соотношениям (11). Именно

Поэтому

Условие 1 выполнено; удовлетворяют неравенству

Условие 2°

также выполнено:

Для доказательства устойчивости, которая имеет место при, достаточно показать, что . Справедливость этого вытекает из оценки

Пример 2. Рассмотрим в качестве более сложного примера другую разностную схему для той же дифференциальной крае вой задачи (10):

Порядок по разностного уравнения, входящего в эту схему, — второй, а порядок соответствующего дифференциального уравнения (10) — первый. Поэтому на левой границе добавлено условие

которое мы будем использовать в форме

Разностную схему (12) мы уже рассматривали в § 23, где обсуждались вопросы аппроксимации. Норма в пространстве там была введена следующим образом: если

то

Как было показано в § 23, аппроксимация в этом случае имеет порядок Покажем, что при выборе нормы по формуле

где наряду с аппроксимацией имеет место и устойчивость.

Мы проверим устойчивость, приведя разностную схему (12) к каноническому виду (2). Положим для этого

с нормой

Оператор определим следующими формулами:

Если

В таком случае

Условие Г, очевидно, при нашем выборе норм не выполняется В самом деле, если, например,

то

так что ни при каком не может выполняться для всех h неравенство

При сделанном нами выборе пространства состоящего из векторов и при нашем выборе норм, по-видимому, нельзя указать оператор так, чтобы условие 1° выполнялось, но условию 1 удовлетворить можно.

Прежде чем доказать последнее утверждение, заметим, что если изменить норму положив

то оператор определенный формулами (13), будет удовлетворять условию 1°, но порядок аппроксимации будет не а только . Мы умеем, не меняя норм, привести разностную краевую задачу (12) к каноническому виду (2) с соблюдением условий 1° и 2°, если за принять совокупность сеточных вектор-функций

При этом усложнится конструкция оператора и оценка нормы его степеней. Поэтому мы не будем рассматривать такое приведение.

Покажем, что при сделанном выборе (13) оператора существуют удовлетворяющие условию 1:

Для построения функции поступим аналогично тому, как мы делали в примере 1, и выпишем стационарное (не зависящее от ) решение задачи

в предположении, что и фиксированы и от не зависят,

Это решение имеет вид

Функция удовлетворяет оценке

Действительно,

Пусть

Поскольку — решение стационарной задачи, можно написать

где

Поэтому

так что

Следовательно, координаты вектора имеют вид

Неравенство, означающее условие 1

выполнено:

Выполнение условия 2°

очевидно:

Для доказательства устойчивости, которая имеет место при , остается показать, что при этом условии

где некоторая постоянная, не зависящая от h. Докажем сначала, что для любого вектора , компонента им которого равна нулю, справедливо неравенство

Далее, применяя оператор к вектору получим вектор норма которого не превосходит . Поэтому для произвольного вектора , компонента которого им не обязательно равна нулю, имеем с учетом неравенства (16), справедливого для вектора и вида

Теперь докажем неравенство (15). В силу определения оператора вектор имеет нулевую компоненту Поэтому, используя (16) и (17), получаем

Остается обосновать неравенство (16), на которое мы опирались, т. е. доказать следующее предложение.

Пусть произвольный вектор, компонента им которого равна нулю, и пусть . Тогда

Напомним, что в силу определения (13) оператора

Отметим неравенство

которое выполнено при а также очевидное тождество

Теперь при легко проследить справедливость следующей цепочки неравенств, не считая при этом, что

Полученное энергетическое неравенство

сильнее неравенства (18), которое мы доказываем.

Итак, устойчивость схемы (12) при установлена. При устойчивости нет ни при каком разумном выборе норм, так как нарушено необходимое условие устойчивости Куранта, Фридрихса и Леви.