4. Оценки собственных значений оператора Rh.

В некоторых случаях собственные значения можно указать точно, как было сделано в § 27 для оператора над функциями на сеточном отрезке, обращающимися в нуль на его концах, а также для оператора над функциями на сеточном квадрате, обращающимися в нуль на его сторонах.

Для самосопряженных разностных операторов можно пользоваться вариационными методами. Известно, что в этом случае

Пусть, например, оператор действует на сеточные функции пространства определенные не на квадрате, а в более сложной области, составленной из квадратов, и обращающиеся в нуль на границе этой области. Поместим эту область в достаточно большую квадратную сеточную область и рассмотрим оператор над функциями из определенными на сеточном квадрате и обращающимися в нуль на его границе.

Доопределим каждую функцию и из до некоторой функции из положив ее тождественно равной нулю во всех тех точках сеточного квадрата, которые не принадлежат

первоначальной области. Легко видеть, что для каждой такой функции благодаря ее обращению в нуль на границе первоначальной области выполнено равенство

Поэтому при переходе от формул (18) к формулам

получим числа , которые удовлетворяют оценкам

Но в случае квадратной области собственные значения известны, так что известны, и мы получили оценки (19) границ спектра оператора над функциями из определенными в первоначальной области.

Во многих случаях можно применять вариационные методы оценки собственных значений, аналогичные вариационным методам для дифференциальных уравнений. Например, первое собственное значение задачи

где — граница сеточной области и во внутренних точках задано выражение

может лишь уменьшиться от замены переменных коэффициентов на постоянные

Это доказывается так же, как аналогичный факт для дифференциальных уравнений, см. [19],

В случае постоянных коэффициентов можно перейти от исходной области к квадратной и получить оценки, подобные оценкам (19). Собственные числа оператора в квадратной области легко вычислить точно.