§ 9. Начальные и граничные условия

Прежде чем приступить к математическому рассмотрению задач теории теплопроводности, необходимо сформулировать начальные и граничные условия, которым должна удовлетворять температура. Эти условия определяются? частично непосредственными результатами экспериментов, а частично математической трактовкой гипотез, основанных на этих результатах.

Пусть внутри твердого тела температура является непрерывной функцией пусть ее первая производная по и первые и вторые производные по также непрерывны. Указанные предположения не распространяются на границу твердого тела, а также на некоторый момент времени, с которого, как предполагается, начинается поступление тепла.

I. Начальные условия.

Предполагается, что в некоторый момент времени, принятый нами за начало отсчета координаты температура по всему телу задана произвольно. Если эта произвольная функция непрерывна, то мы должны найти такое решение задачи, которое по мере приближения к нулю стремилось бы к заданной величине. Другими словами, если начальная температура задана в виде

то наше решение уравнения

должно быть таким, чтобы для всех точек твердого тела выполнялось условие

Если начальное распределение температуры разрывно в некоторых точках или на поверхностях, то эти разрывы должны исчезнуть через очень короткое время, и тогда наше решение должно стремиться к заданной величине начальной температуры во всех точках, где распределение непрерывно.

II. Граничные условия, или условия на поверхности.

Перечислим условия на поверхности, обычно встречающиеся в теории теплопроводности.

А. Задана температура на поверхности. В этом случае температура может быть либо постоянной, либо зависеть от времени, либо от положения, либо, наконец, зависеть и от времени и от положения. Подобный случай граничных условий наиболее прост и уже достаточно хорошо изучен. Следует, однако, отметить, что на практике часто очень трудно задать температуру на поверхности, и поэтому существующие в действительности

условия лучше всего описываются граничными условиями, рассматриваемыми пункте (см. ниже).

Б. Отсутствует тепловой поток через поверхность исследуемого тела, т. е. во всех точках поверхности имеет место соотношение

где обозначает дифференцирование вдоль внешней нормали к поверхности.

В. Задан тепловой поток через поверхность.

Г. Теплопередача на поверхности линейна или происходит теплообмен «излучением» по закону Ньютона.

Если тепловой поток через поверхность пропорционален разности температур между поверхностью и окружающей ее средой, то он равен

где температура среды, константа; тогда граничные условия записываются в виде

где

Если то указанные условия обращаются в граничные условия типа если же то они обращаются в условия типа А.

Величина была названа внешней, или поверхностной, теплопроводностью, но теперь ее обычно называют коэффициентом поверхностной теплопередачи или теплоотдачи. Очень часто удобно пользоваться величиной поверхностного термического сопротивления, отнесенного к единице площади, т. е. величиной, обратной

Если к тому же задан тепловой поток на поверхности, то выражение (9.2) примет следующий вид:

Соотношение (9.4) совпадает с соотношением (9.2), в котором заменено

Это граничное условие называется в классических работах граничным условием при теплообмене излучением (см. соотношение (9.12)). Однако в действительности такое название приводит к некоторому заблуждению, так как, когда речь идет о передаче тепла излучением, тепловой поток пропорционален четвертой степени абсолютной температуры; все же, ради краткости, в настоящей книге мы обычно будем определять граничное условие как «теплообмен излучением в среду с температурой вместо

громоздкого, но более точного «линейная теплопередача в среду с температурой Иногда это условие называют законом Ньютона, так как закон Ньютона говорит, что при охлаждении тела обдувом (т. е. в условиях вынужденной конвекции, см. ниже) количество теряемого тепла выражается соотношением (9.1).

Ниже будет кратко изложено несколько различных физических явлений, при которых тепловой поток через граничную поверхность выражается соотношением (9.1). В каждом случае дается несколько численных значений, что позволяет грубо оценить порядок величины для практических задач; точные значения можно найти в работах по теплопередаче [35, 36, 46, 47].

1. Вынужденная конвекция. Экспериментально установлено, что если жидкость (или газ) с температурой быстро движется по поверхности твердого тела, то количество тепла, теряемого с его поверхности, выражается формулой (9,1), причем коэффициент теплообмена зависит от скорости движения и природы жидкости, а также от формы поверхности. Большинство экспериментов было проведено с жидкостью, движущейся внутри трубок с круговым сечением, и с жидкостью, обтекающей цилиндры с круговым сечением в направлении, перпендикулярном оси цилиндра. На основании полученных результатов были найдены соотношения, приближенно определяемые степенными законами следующих типов:

Для случая турбулентного течения воздуха со скоростью и см/сек внутри трубки диаметром см находим

для воды в аналогичном случае было получено такое же выражение, но большее в 500—1000 раз.

Для случая турбулентного течения воздуха со скоростью а, направленной перпендикулярно оси цилиндра с диаметром сечения находим

для воды эта величина оказывается примерно в 100 раз больше.

Очевидно, что во всех случаях потеря тепла с единицы поверхности в единицу времени значительно увеличивается с уменьшением диаметра цилиндра. Для плоской поверхности величина имеет тот же порядок, что и для цилиндра очень большого диаметра.

Зависимость типа (9.1) приближенно справедлива для случая теплопередачи в результате комбинации вынужденной конвекции и испарения.

2. Случай тонкой оболочки из плохо проводящего материала. Очень часто оказывается, что на поверхности тела имеется тонкая пленка плохо проводящих материалов, например окалины (накипи), смазочных масел, окислов. Кроме того, при охлаждении тела газом или жидкостью, текущей по его поверхности, к последней обычно прилипает тонкий слой невозмущенной жидкости, а так как этот слой не движется, то отдаваемое им количество тепла относительно мало.

Если теплопроводность указанной пленки толщиной равна К и если в качестве первого приближения мы пренебрежем ее теплоемкостью, то количество тепла, протекающего через эту пленку, отнесенное к единице площади в единицу времени, равно

где температуры на внутренней и наружной стороне пленки соответственно.

Это соотношение равносильно граничному условию

для среды с внутренней стороны пленки.

Ниже приводятся значения в единицах и градусах Цельсия для слоев различных веществ разной толщины.

Типичная толщина пленки накипи равна 0,1 см.

Если с внешней стороны пленки не поддерживается температура и происходит потеря тепла, величина которой равна произведению на разность между и температурой окружающей среды то граничное условие примет вид

Д. Теплопередача нелинейна. В большинстве практических задач тепловой поток с поверхности не является линейной функцией разности температур между этой поверхностью и окружающей ее средой. Однако для малых диапазонов температур он может быть аппроксимирован зависимостью типа (9.1). Ниже приведены типичные примеры.

1. Излучение черного тела. Твердое тело с абсолютной температурой окруженное черным телом с абсолютной температурой будет терять количество тепла, отнесенное к единице поверхности и в единицу времени, равное

где постоянная Стефана — Больцмана, относительная излучательная способность поверхности (степень черноты), т. е. отношение количества тепла, излучаемого указанной поверхностью, к количеству тепла, излучаемого черным телом при той же температуре.

Для полированных металлов величина меняется от 0,02 до 0,05; для оксидированных металлов она примерно равна для других веществ, например для красок, стекла, бумаги, древесины, она равна 0,7 — 0,9, для копоти, ламповой сажи и т. п. она может достигать 0,98.

Подставляя численное значение величины в (9.10), получим

Если разность не очень велика, то в первом приближении находим

а если то указанная величина становится равной

Таким образом, применительно к этому случаю выражение (9.1) с константой Н является весьма приближенным, а если велико, то оно может даже привести к серьезным ошибкам. Известно лишь несколько точных решений задач теплопроводности с точным граничным условием типа (9.10).

В обычных условиях потеря тепла твердым телом обусловлена как конвекцией, так и излучением, и поэтому в коэффициенте в выражении (9.1) должны быть учтены оба эти фактора.

2. Естественная конвекция. Когда нагретое твердое тело окружено жидкостью, то более нагретые части жидкости, находящиеся поблизости от тела, стремятся подняться вверх и таким образом устанавливаются сети конвекционных токов. Такой процесс называется естественной конвекцией. Экспериментально установлено, что в данном случае количество тепла, теряемое твердым телом (с единицы площади в единицу времени), пропорционально разности температур между телом и окружающей жидкостью в степени, приблизительно равной Например, для поверхностей толщиной несколько сантиметров потеря тепла в воздух, отнесенная к единице площади в единицу времени, приближенно равна

Для очень тонких проволок, находящихся в воздухе, эта величина в 20 раз больше. В воде те же величины оказываются примерно в 100 раз больше.

Для этого случая, так же как и для случая теплопередачи излучением, нельзя, пользуясь выражением (9.13), найти точные решения, и поэтому в выражении (9.1) используется приближенная величина Следует отметить, что для тела, находящегося в воздухе при нормальной температуре, соотношения (9.12) и (9.13) дают величины одинакового порядка и поэтому оба они могут быть использованы в расчетах.

Е. Контакт с хорошо перемешиваемой жидкостью или с идеальным проводником. В калориметрии и в других методах измерения, связанных с теплопередачей, часто оказывается, что поверхность твердого тела соприкасается с жидкостью, перемешиваемой настолько хорошо, что температура жидкости всюду одинакова. Пусть твердое тело имеет теплопроводность К, площадь поверхности и температуру поверхности причем сохраняет постоянное значение на всей поверхности. Пусть, далее, хорошо перемешиваемая жидкость, соприкасающаяся с твердым телом, имеет массу и удельную теплоемкость и пусть ее температура равна Для общности предположим, что в жидкость с массой поступает в единицу времени от внешнего источника количество тепла и что потеря тепла вследствие излучения в среду с температурой (отнесенная к единице площади в единицу времени) составляет Если увеличение температуры жидкости с массой за время то мы можем написать

т. е.

Если предположить, что с некоторого момента времени температура поверхности твердого тела равна температуре жидкости (при они, разумеется, могут быть не равны), то в дополнение к соотношению (9.14) получим

Если же вместо этого между твердым телом и жидкостью имеет место теплопередача по закону типа то условие (9.15) заменяется другим, а именно

Другие физические условия приводят к граничным условиям типа (9.14); например, для случая, когда поверхность твердого тела соприкасается с хорошо перемешиваемой жидкостью массы из которой в единицу времени

удаляется масса и замещается той же массой жидкости с температурой находим

Такие же граничные условия (9.14), (9.15) и (9.16) имеют место для идеально проводящего твердого тела с массой М. Если неметалл соприкасается с металлическим проводником со значительно большей теплопроводностью, то последний с достаточно хорошим приближением можно считать идеальным проводником. Такая задача решается значительно проще, чем задача для составной области.

Существенная разница между этими граничными условиями и условиями, определенными в пунктах заключается в появлении члена а в некоторых случаях — члена . При использовании классических методов не всегда можно обойтись без их видоизменения, но преобразование Лапласа, изложенное в гл. XII, одинаково пригодно для обоих случаев. В этой главе будут приведены некоторые примеры.

Ж. Поверхность раздела двух сред с различными коэффициентами теплопроводности Пусть температуры двух сред. В § 3 данной главы было показано, что тепловой поток непрерывен на поверхности раздела двух сред, т. е. что

где означает дифференцирование вдоль нормали к поверхности раздела.

Если предположить, что на поверхности раздела температуры обеих сред одинаковы, то в добавление к соотношению (9.18) имеем

Это предположение справедливо только для очень тесного контакта, как, например, в спаях; во всех других случаях, даже в двух оптически плоских поверхностях, слегка прижатых друг к другу, теплопередача между двумя средами осуществляется главным образом согласно механизму, изложенному в пунктах и т. е. тепловой поток между этими двумя поверхностями пропорционален разности их температур и, следовательно,

Для этого случая граничными условиями служат соотношения (9.18) и

3. Контакт вещества с тонкой оболочкой из значительно лучшего проводника. Подобная задача встречается при изучении, например, тонкого металлического листа или проволоки, соприкасающихся с относительно плохим проводником, таким, как грунт, пищевые продукты или изолирующие материалы. Этот случай

рассматривается также в задачах о поверхностной диффузии или о диффузии по границам зере» (65, 66]. Предполагается, что оболочка настолько тонка, что по всей ее толщине, равной температура в любой точке одинакова. Если V — температура в произвольной точке оболочки, а соответственно коэффициенты теплопроводности и температуропроводности вещества оболочки, то уравнение теплопроводности для оболочки, выведенное из рассмотрения баланса тепла в элементе ее площади, записывается в виде

обозначает дифференцирование по направлению внешней нормали к твердому телу, соответственно по двум перпендикулярным ей направлениям.

При идеальном тепловом контакте между оболочкой и твердым телом граничные условия имеют вид (9.21) и Если же между оболочкой и внутренней (ил» внешней) средой происходит теплопередача по линейному закону, эти условия несколько усложняются.

Для случая проволоки с радиусом а, расположенной вдоль оси в твердом теле , соотношение (9.21) принимает вид

Если оболочка настолько тонка, что ее теплоемкостью можно пренебречь, то соотношение (9.21) записывается следующим образом: