§ 6. Пластина с периодически изменяющейся температурой поверхности

Рассмотрим вначале задачу для пластины — с начальной температурой, равной нулю, и температурой поверхности, изменяющейся по закону Решение, получаемое из (5.2) данной главы или из § 6 гл. XII, имеет вид

где

Первый член соотношения (6.1) представляет собой решение для установившегося периодического состояния, второй член — для неустановившегося состояния. Первый член можно найти из первых основных уравнений при помощи рассуждений, используемых в § 6 гл. II (см. соотношения (6.4) — (6.6)) для полуограниченного твердого тела.

Величины представляющие собой амплитуду и фазу установившегося колебания температуры в точке х, являются функциями двух безразмерных величин

Характер изменения по поперечному сечению пластины для значений равных показан на рис. 13 и 14.

Для пластины с начальной температурой, равной нулю, и границами на которых поддерживаются температуры, равные соответственно нулю и можно написать

где

определяется соотношением (6.4).

Если температуру поверхности можно представить рядом Фурье

то решение для установившегося периодического состояния имеет вид

где определяются из соотношений (6.2) и (6.3) или при рассмотрении второй задачи — из соответствующих соотношений в которых заменено на

Рис. 13. Изменение амплитуды установившегося колебания температуры в пластине, вызываемое гармоническим изменением температуры поверхности.

Так как в соотношении (6.8) амплитуды и фазы определяются при помощи довольно сложных выражений приведенный выше метод, хотя, он остается всегда пригодным, часто неудобен. Приведем теперь другой изящный метод ([12], см. также § 8 гл. IV и § 5 гл. XV), где решение выражается в виде тригонометрического ряда по х с коэффициентами, которые являются функциями., времени. Этот метод, в частности, полезен при рассмотрении ряда простых колебаний температуры поверхности, которые часто возникают на практике (например, «прямоугольные» и «пилообразные» колебания).

В качестве первого примера мы рассмотрим случай установившейся периодически изменяющейся температуры в пластине когда граница поддерживается при температуре, равной нулю, а граница при температуре

Иными словами, температура V «включена» на время и «выключена» на время причем эти циклы повторяются неограниченное число раз.

Предположим, что такое колебание температуры поверхности продолжается так долго, что наступает установившееся периодическое состояние и исчезает влияние начальной температуры. Приступим к нахождению температуры в момент после начала периода «включения».

В соотношении (5.2) мы полагаем, что и

где большая величина. Если мы положим

то из (5.2) данной главы следует, что решение принимает вид

Рис. 14. Изменение фазы установившегося колебания температуры в пластине, вызываемое гармоническим изменением температуры поверхности.

Вводя величины, определяемые условиями (6.9) и (6.10), получим

Для больших значений принимает вид

Таким образом, для больших значений времени наше решение запишется следующим образом:

Так как

то уравнения (6.15) можно представить также в виде

Аналогичным образом, положив где большая величина, найдем

Следовательно, через время после начала интервала «выключения» температура равна

Эти решения обычно более удобны для численных расчетов, чем ряд Фурье (6.8). Кроме того, данный метод оказывается достаточно общим и формулы (6.14) и (6.18) непосредственно пригодны для любой задачи, в которой решение для постоянных внешних условий выражается в виде суммы ряда экспонент с показателями а решение для внешних условий, задаваемых (6.9), можно получить при помощи теоремы Дюамеля. Таким образом, используя результаты §§ 8 и 12 настоящей главы с соответствующими значениями легко записать решения задач по теплообмену стержня со средой, имеющей температуру или с подводом тепла, задаваемым функцией определяется из условий (6.9).

Используя (6.14) и (6.18) в (5.3) данной главы, мы получим следующие решения задачи для случая установившейся, периодически изменяющейся температуры в стержне когда на плоскости отсутствует тепловой поток, а на плоскости поддерживается температура определяемая условиями (6.9): для интервалов «включения»

и для интервалов «выключения»

где