§ 13. Установившийся поток тепла в составной проволоке

Задачи по теплопроводности в составных проволоках представляют известный интерес в связи с теорией термопар и приборов для измерения тока. Здесь мы рассмотрим только установившееся состояние; решения для неустановившегося состояния легко получить, воспользовавшись преобразованием Лапласа (см. гл. XII).

Предположим, что участок проволоки имеет коэффициент теплопроводности плотность удельную теплоемкость коэффициент температуропроводности температуру коэффициент теплообмена Ни площадь поперечного сечения периметр сечения и коэффициент электропроводности Если в проволоке течет ток I а, то где число калорий в

Соответствующие величины для участка проволоки будут снабжены индексом 2.

Если проволока имеет различные площади поперечного сечения в двух выбранных нами участках, то в месте их соприкосновения мы не будем учитывать концевые эффекты, и граничные условия запишутся в виде

и

При наличии теплообмена между проволокой и средой, имеющей температуру искомые дифференциальные уравнения (как и (10.1) данной главы) имеют вид

Рассмотрим несколько типичных примеров.

1. Температуры в плоскостях поддерживаются равными соответственно и Теплообмен со средой нулевой температуры. В проволоке отсутствует ток. В этом случае при решения уравнений (13.3) и (13.4), которые принимают значения и при имеют вид

Граничные условия (13.1) и (13.2) позволяют определить и мы получим окончательно

где

Для получится аналогичное выражение. Температура в стыке равна следующей величине:

2. Температура плоскостях поддерживается равной нулю. Теплообмен со средой нулевой температуры. По проволоке течет ток Температура в стыке равна

где величина, определяемая (13.6).

3. Температура в плоскости поддерживается равной Тепловой поток через плоскость отсутствует. Ток в проволоке отсутствует. Теплообмен со средой нулевой температуры. В данном случае

где

4. Температура в плоскости поддерживается равной нулю. Тепловой поток через плоскость отсутствует. По проволоке течет ток Теплообмен со средой нулевой температуры. В данном случае

где величина, определяемая (13.10).