ПРИЛОЖЕНИЕ 3. О ФУНКЦИЯХ БЕССЕЛЯ

Здесь мы отметим некоторые свойства функций Бесселя, используемые в настоящей книге.

Функция Бесселя определяется соотношением

где действительное число, может быть комплексным; из различных возможных значений комплексной функции выбирают главное значение. Функция удовлетворяет уравнению Бесселя порядка

Если не равно целому числу, то функции служат линейно независимыми решениями уравнения (2), но когда целое число, равное

В качестве второго решения уравнения (2), пригодного для всех значений выбирают функцию

функцию (когда целое число) определяют как При таком определении

где постоянная Эйлера.

Итак, если любое положительное целое число, то

где при следует заменить суммой

Уравнение Бесселя вида

удовлетворяется функцией

Если не равно целому числу, то служит независимым решением уравнения (6); в качестве второго решения, пригодного для всех значений выбираем функцию

функцию (когда целое число) определяют как При таком определении

если любое целое положительное число, то

где при следует заменить суммой

Для больших значений

положительный знак берется тогда, когда — а отрицательный — когда

Ниже приводятся наиболее часто используемые соотношения между функциями

Функция удовлетворяет тем же соотношениям (17) и (18), что и функция В случае эти соотношения принимают вид

(см. скан)