§ 9. Шар. Радиальный тепловой поток

Напомним, что задачи с радиальным тепловым потоком в шаре сводятся подстановкой к задачам с линейным потоком в стержне, а последние исследованы достаточно полно; поэтому повторять здесь необходимые расчеты нецелесообразно. Однако если требуется получить решения для шара, а соответствующие решения для стержня отсутствуют, то лучше применить преобразование Лапласа непосредственно к задаче для шара. Ниже приводятся несколько примеров.

I. Шар (в сферических координатах) с постоянной начальной температурой V и нулевой температурой поверхности.

В данном случае вспомогательное уравнение имеет вид

или

Его следует решать при условии

при имеет конечное значение.

Общее решение уравнения (9.2) имеет вид

для того чтобы получить конечное значение при следует принять В равным нулю. Тогда

Использование теоремы обращения дает решение примера IV § 3 гл. IX. Кроме того, поступая так же, как и в § 5 гл. XII, можно найти решение, пригодное для малых значений времени. Из соотношения (9.5) получаем

и поэтому

При оно принимает вид

II. При в области, находящейся в неограниченной среде с нулевой начальной температурой, в единицу времени на единицу объема выделяется постоянное количество тепла

В данном случае, как и выше (см. (9.2)), вспомогательные уравнения записываются следующим образом:

Решение уравнения (9.7), конечное при имеет вид

Решение уравнения (9.8), конечное при записывается в виде

следует находить из условия непрерывности и при Отсюда

Температуру при находим из соотношений (9.9) и (9.11):

и, следовательно,

Кроме того, при имеем

а при

Таким же путем можно получить решения для случая, когда количество тепла, выделяющегося в единицу времени, равно где может принимать значения

III. В области находится идеальный проводник с массой и удельной теплоемкостью Он окружен неограниченной областью с теплопроводностью К и температуропроводностью На поверхности контактное сопротивление на единицу площади равно Начальная температура равна нулю. Внутри области а в единицу времени выделяется количество тепла

Обозначая температуру идеального проводника через а температуру в области через находим

где

Если известны численные значения то знаменатели в решениях (9.15) и (9.16) можно разложить на множители, выразить через сумму простых дробей со знаменателями типа можно затем найти из (12) и (14) приложения 5.

Кроме того, можно воспользоваться теоремой обращения; тогда мы получим

При малых значениях времени отсюда, как и в § 5 гл. XII, следует, что

тогда как при больших значениях времени метод, изложенный в данной главы, дает

Эта задача соответствует задаче, приведенной в § 7 данной главы, в которой цилиндр заменен шаром. Аналогичным образом можно поступить и при определении те плопроводности.

IV. Та же задача, что и но и начальная температура шара равна

Температура шара в момент времени равна

Для малых значений времени получим

для больших значений времени найдем

V. В области находится идеальный проводник с массой и удельной теплоемкостью В области находится твердое тело с

теплопроводностью К и температуропроводностью х. На границе контактное сопротивление отсутствует. Накальная температура всей системы постоянна и равна а при поверхность поддерживается при нулевой температуре. Если обозначить температуру в области через то

где положительные корни уравнения

и

VI. Та же задача, что и V, но начальная температура равна нулю, а в шар поступает в единицу времени количество тепла, равное

В данном случае

где положительные корни уравнения (6.25).

VII. Составные сферические твердые тела.

Рассмотрим задачу для шара радиуса из твердого материала, в котором центральная часть, имеет теплопроводность, температуропроводность и температуру в наружной оболочке, соответствующие величины равны

Примем, что при контактное сопротивление отсутствует.

Пусть в начальный момент времени температура твердого тела равна постоянной величине V, а при наружная поверхность поддерживается при нулевой температуре.

Введем, как обычно» обозначения тогда подлежащие решению уравнения принимают вид

при условиях

и имеет при конечное значение.

Необходимо отметить, что вследствие формы граничного условия (9.30) решения для составных шаров не вытекают непосредственно из соответствующих решений для составных пластин.

Вводя обозначения получим вспомогательные уравнения в виде

и граничные условия

при имеет конечное значение.

Решая эти уравнения, получим

где

Далее рассуждения очень похожи на рассуждения для случая составной пластины, рассмотренной в § 8 гл. XII. Ко вторым членам соотношений (9.31) и (9.32) применяется теорема обращения, в результате чего мы получим интегралы, подынтегральные функции которых имеют простые полюсы при (дающие вклады — V) и простые полюсы при где корни уравнения

Корни уравнения (9.35) служат корнями уравнения

и общими корнями уравнений

Если величина иррациональная, то последние уравнения общих корней не имеют, и из (9.31) и (9.32) получим

где корни уравнения (9.37) и

Если рациональная величина, то можно предположить, что она является несократимой дробью, равной В таком случае уравнения (9.38) имеют общие положительные корни

Эти корни уравнения (9.35) приводят к появлению в выражениях для дополнительных членов

и

соответственно.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)