§ 5. Выделение тепла, переменная температуропроводность и скрытая теплота

В случае выделения тепла к левой части уравнения (3.1) настоящей главы следует добавить член При использовании метода конечных разностей к правой части уравнения (3.4) нужно прибавить член или, для получения лучшего приближения, член

В формуле Кранка — Никольсона (3.11) к правой части следует прибавить член

Над задачами этого типа до настоящего времени работали еще мало. В статье [24] обсуждался случай выделения тепла при химической реакции. В статье [28] рассматривались вопросы устойчивости и был дан ряд численных примеров.

Случай переменной температуропроводности кратко упоминался в § 3 настоящей главы. Чтобы учесть ее изменение, в соотношении следует приписать величину, соответствующую тогда как в (3.11) ей следует приписать величину, соответствующую Этот случай, имеющий большое значение при рассмотрении диффузии, достаточно полно изложен в книге [3].

Перечислим теперь наиболее важные задачи этого типа в теории теплопроводности: 1) задачи, в которых температуропроводность является ступенчатой функцией температуры (это соответствует также выделению скрытой теплоты в диапазоне температур плавления), и 2) родственная им задача выделения скрытой теплоты в точке плавления. Эти задачи имеют большое техническое значение. Кроме того, хотя известны точные решения задач такого рода для полуограниченного тела, для пластины и для цилиндра они отсутствуют. Для последних случаев решения должны получаться при помощи численных методов, однако в качестве «начальных решений» чрезвычайно полезными оказываются точные решения, приведенные в гл. XI [29]. Влияние скрытой теплоты изучалось в [30, 31]. В работе [30] указывается, что в задачах этого типа удобнее производить расчеты с теплосодержанием единицы массы тела, которое удовлетворяет дифференциальному уравнению

Соответствующая формула в конечных разностях, полученная с помощью (3.4), имеет вид

Расчет проводится так же, как и ранее, причем в точке плавления имеется разрыв непрерывности или на конце интервала температур плавления — разрыв непрерывности с.