§ 3. Установившаяся, периодически изменяющаяся температура в круговых цилиндрах [19—22]

Как и в § 7 гл. III, ищем решения с периодом содержащие временной множитель (напомним, что на этот множитель нужно умножить все выражения для температур и потоков и что мы условились всюду пропускать его). Тогда соотношение (1.3) данной главы принимает вид

Общее его решение записывается следующим образом (ср. соотношение (6) приложения 3):

где

Поток определяется уравнением

Функции Бесселя мнимого аргумента в соотношениях (3.2) и (3.4) выражаются при помощи табулированных функций которые определяются соотношениями (ср. [23])

причем их числовые значения для любых значений можно считать известными.

Предположим теперь, что величины температуры и теплового потока на поверхности соответствующие величины на поверхности

Решая затем (3.2) и (3.4) при получим зависимость от величин

Подставляя найденные значения в (3.2) и (3.4) при получим зависимость от величин в виде

где

Для упрощения выкладок используется соотношение (22) приложения 3. Приведенная выше запись в виде матриц была рассмотрена в § 7 гл. III. Из соотношения

(3.12) следует, что можно выразить через в виде

Так же, как и в § 7 гл. III, искомые решения для составных цилиндрических областей можно непосредственно получить, перемножая соответствующие матрицы. Например, если область состоит из вещества, характеризуемого величинами определяемыми из область из другого вещества, характеризуемого величинами и если между этими двумя веществами вдоль поверхности термическое сопротивление на единицу площади равно то

Как отмечалось в § 7 гл. III, общие выражения быстро становятся слишком сложными, но для любых заданных условий можно найти из таблиц численные значения и выполнить умножение квадратных матриц в соотношении (3.14) или эквивалентных им матриц. Граничные условия на внутренней и внешней поверхностях исследуемого тела позволяют получить два дополнительных соотношения для температур и тепловых потоков на этих поверхностях и, следовательно, мы можем определить все четыре величины.

Для области мы должны иметь в (3.2), так как при Отсюда следует, что при

Для неограниченной области в соотношении (3.2) должно равняться нулю, так как при Следовательно, в данном случае при можем написать