§ 5. Теплопроводность изотропных тел

В дальнейшем, если это не оговорено особо, мы будем рассматривать только изотропные среды, т. е. такие среды, структура и свойства которых в непосредственной близости от какой-либо точки одинаковы во всех направлениях. Вследствие такой симметрии вектор теплового потока в какой-либо точке должен быть направлен вдоль нормали к изотермической поверхности, проходящей через эту точку, в сторону меньшей температуры.

Соотношение между скоростью изменения температуры в направлении нормали к изотерме и вектором теплового потока, имеющим такое же

направление, можно вывести из основного эксперимента, описанного в § 2 данной главы. В этом случае изотермы представляют собой плоскости, параллельные поверхностям пластины. Предположим, что изотермы температур распочожены на расстоянии друг от друга. Тогда, согласно соотношению (2.1), количество тепла, проходящее в единицу времени через единичную площадку в положительном направлении х, равно

или при

Обобщим этот результат для любой изотермической поверхности и в качестве основной гипотезы математической теории теплопроводности примем, что величина теплового потока через любую изотермическую поверхность изнутри наружу (т. е. количество тепла, рассчитанное на единицу площади и единицу времени) равна

где К — коэффициент теплопроводности вещества, а символ означает дифференцирование вдоль внешней нормали к поверхности.

Приступим теперь к нахождению теплового потока через любую, не обязательно изотермическую, поверхность в некоторой ее точке. Пусть изотерма в точке касается плоскости тогда тепловые потоки в точке через плоскости, параллельные координатным плоскостям, будут равны

Пусть теперь нормаль в точке к заданной поверхности имеет направляющие косинусы тогда, согласно соотношению (3.2), тепловой поток через эту поверхность будет равен

где символ означает дифференцирование в направлении так как

Таким образом, величина теплового потока в данной точке через любую поверхность равна

где символ означает дифференцирование в направлении внешней нормали.

В частности, тепловые потоки через три плоскости, перпендикулярные координатным осям, соответственно равны

При использовании вектора введенного в § 3 настоящей главы, полученные результаты можно представить в виде