§ 3. Установившаяся температура в ограниченном и полуограниченном цилиндрах

В настоящем параграфе мы приведем ряд простых решений для случая установившегося потока тепла в ограниченном и полуограниченном цилиндрах. Путем комбинации решений приведенных выше задач можно получить решения ряда многих других задач. Например, используя решения задач, приведенные в примерах III и IV предыдущего параграфа, можно решить задачу для ограниченного цилиндра с заданным распределением температур на всех его поверхностях; приняв в решениях задач с граничными условиями, учитывающими теплообмен, можно решить различные задачи, в которых отсутствует тепловой поток через некоторые границы; считая, что в примерах IV и V функция симметрична относительно можно решить две другие задачи для цилиндра при отсутствии потока через одну из плоских поверхностей; наконец, считая, что в примере антисимметрична относительно получим решение для цилиндра с нулевой температурой

на одной плоской поверхности и теплообменом на другой. Рассматривая совокупность всех этих решений, мы получим все возможные комбинации граничных условий для ограниченного круглого цилиндра. Аналогичным образом из найденных данных можно получить много других решений для конечного полого цилиндра. Столь же легко найти решения задач для важных случаев неодинаковых коэффициентов теплопроводности в направлениях а также для различных коэффициентов теплопроводности на разных поверхностях. Однако полученные результаты оказываются несколько сложнее. Наконец, следует отметить, что во многих частных задачах, в которых рассматривается теплообмен, решения часто удается представить в более простом виде через корни (10.6) и (10.7) гл. III, чем через корни (9.5) этой главы, как было сделано здесь.

I. Конечный цилиндр Поверхность поддерживается при заданной температуре поверхность при нулевой температуре. Теплообмен происходит при со средой нулевой температуры.

В этом случае должно удовлетворять уравнению

при условиях

Функция

удовлетворяет (3.1) и (3.2) при всех значениях Она удовлетворяет также (3.4), если а служит корнем уравнения

Как и в § 7 гл. VII, мы предполагаем, что можно разложить в ряд

где положительные корни (3.6), а

Таким образом, решение нашей задачи имеет вид

Если равно постоянной величине V, то, используя соотношение (5.5) предыдущей главы, находим

Установившаяся температура используется в этом случае для измерения коэффициента теплопроводности [8].

Из (3.10) находим тепловой поток, поступающий в цилиндр через поверхность в виде

Аналогичным образом, тепловой поток, «вытекающий» из цилиндра через поверхность равен

Эти решения представляют собой обобщение решений для случая тонкой проволоки, рассмотренного в § 5 гл. IV. Их можно использовать при рассмотрении влияния проволоки конечной толщины.

II. Конечный цилиндр Поверхность поддерживается при заданной температуре На других поверхностях происходит теплообмен со средой нулевой температуры.

где определяются из (3.6) и (3.8). В работе [8] приводятся некоторые численные результаты.

III. Конечный цилиндр Поверхность поддерживается при заданной температуре другие поверхности — при нулевой температуре.

где положительные корни уравнения

IV. Конечный цилиндр Поверхность поддерживается при заданной температуре другие поверхности — при нулевой температуре.

V. Конечный цилиндр Поверхность а поддерживается при заданной температуре на других поверхностях происходит теплообмен со средой нулевой температуры.

где положительные корни (ср. § 9 гл. III) уравнения

VI, Конечный цилиндр На поверхностях тепловой поток отсутствует. Количество тепла (в единицу времени), равное подводится к одному основанию боковой поверхности с помощью тонкого кольца шириной и отводится тем же способом от другого основания. Тепловой поток через остальную часть криволинейной поверхности отсутствует.

В данном случае граничное условие при имеет вид

где

Здесь нечетная функция, которую можно разложить в ряд

Следовательно,

VII. Конечный полый цилиндр Поверхность а поддерживается при другие поверхности — при нулевой температуре.

где

VIII. Конечный полый цилиндр На поверхности тепловой поток внутрь твердого тела является заданной функцией Другие поверхности поддерживаются при нулевой температуре.

где определяется соотношением (3.21), a

Если

то правая часть (3.22) принимает вид

IX. В области - (полый цилиндр) находится среда с коэффициентом теплопроводности Поверхности поддерживаются при нулевой температуре. Область занята проволокой с коэффициентом теплопроводности которая нагревается электрическим током.

Предположим, что температура проволоки постоянна по всему ее поперечному сечению и при между проволокой и окружающей ее средой нет разрыва в температуре.

Если температура среды в полом цилиндре, то мы должны решить уравнение (3.1) для области при на поверхности и на поверхностях В данном случае решение будет иметь вид

где определяется (3.21) и постоянные, определяемые из граничного условия при Наше решение получено из уравнения (10.4) гл. IV для температуры проволоки при причем величина которая в этом уравнении представляла потерю тепла проволокой в окружающую среду, заменена величиной

Отсюда мы получим для граничного условия при соотношение

Подставляя (3.25) в (3.26), находим

где определяются из (3.21) и (3.23). Из уравнения (3.27) получаем для всех Решение (3.25) является полным.

X. Конечный полый цилиндр Поверхность поддерживается при другие поверхности — при нулевой температуре.

где определяется (10.2) гл. VII, а положительные корни уравнения

XI. Конечный полый цилиндр Поверхность а поддерживается при температуре На других поверхностях происходит теплообмен со средой нулевой температуры.

где положительные корни (3.18), а

XII. Полуограниченный цилиндр Поверхность поддерживается при заданной температуре а поверхность при нулевой температуре

где положительные корни (3.15).

XIII. Полуограниченный цилиндр Поверхность поддерживается при заданной температуре а поверхность при нулевой температуре.

где положительные корни (3.15).

XIV. Полуограниченный цилиндр Поверхность поддерживается при заданной температуре а на поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры.

где положительные корни (3.6).

Когда а мало, то корни быстро возрастают, и поэтому в выражении для мы можем ограничиться первым членом разложения. Далее, если величиной можно пренебречь, то

Тогда из (3.6) получим

Необходимо отметить, что для справедливости наших рассуждений должно быть мало, и в этом приближении

где V — среднее значение температуры на поверхности Этот результат совпадает с решением, приведенным в § 3 гл. IV.

XV. Полу ограниченный цилиндр Поверхность поддерживается при заданной температуре а на поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры.

где положительные корни (3.15).

XVI. Ограниченный цилиндр Потоки тепла через круг и через круг одинаковы и равны постоянной величине Поток тепла через остальные поверхности отсутствует.

Разность между средними температурами двух областей, через которые подводится и отводится тепло, равна следующей величине:

где суммирование проводят по нечетным значениям Ограниченный цилиндр Количество тепла, выделяемое в единицу времени единицей объема, постоянно и равно Температура поверхности равна нулю.

В данном случае следует решить уравнение

Частный интеграл этого уравнения, который обращается в нуль при имеет вид

Полное решение получается путем добавления к этому выражению решения уравнения (3.1), величина которого равна и нулю при Последняя задача решена в примере IV, и окончательно получаем

XVIII. Ограниченный полый цилиндр Тепловой поток через поверхность отсутствует. Поверхности имеют нулевую температуру. На поверхности температура равна

где определяется (3.23).

XIX. Ограниченный полый цилиндр Количество тепла, выделяемое в единицу времени единицей объема, постоянно и равно Тепловой поток через поверхность отсутствует. На других поверхностях температура равна нулю.

Используя (3.37) и (3.39), получим

XX. Ограниченный полый цилиндр Количество тепла, выделяемое в единицу времени на единицу объема, постоянно и равно Поверхности имеют нулевую температуру, поверхность а охлаждается водой.

Подобные задачи можно рассматривать следующим образом. Предположим, что поверхность а обтекается жидкостью, характеризуемой удельной теплоемкостью с и температурой V, и что количество этой жидкости, уходящей в единицу времени, заменяется тем же количеством жидкости с нулевой температурой, причем сама жидкость все время хорошо перемешивается. Тогда количество тепла, уносимое жидкостью, составляет что должно равняться т. е. величине теплового потока через поверхность Учитывая это и используя (3.37) и (3.20), получим решение для Ограниченный цилиндр с нулевой температурой поверхности; количество выделяемого тепла равно

В данном случае следует решить уравнение

Частный интеграл, который обращается в нуль при имеет вид

где

Поступая как в примере XVII, найдем полное решение в виде

где

Здесь на налагаются ограничения, аналогичные рассматриваемым в § 7 гл. XV.

XXII. Другие задачи.

Вебер дал ряд решений задач для случая установившегося потока электричества (или тепла) в областях, ограниченных цилиндрами и плоскостями, перпендикулярными их оси [13]. Во многих из этих задач рассматривается электрический ток как «втекающий» внутрь поверхности, так и «вытекающий» из нее через небольшие электроды. Задачи подобного типа не представляют большого интереса при обсуждении вопросов теплопроводности; полное описание их дается в книге [2].