§ 8. Неограниченный цилиндр с постоянным потоком тепла на поверхности

I. Нулевая начальная температура. Постоянный поток тепла внутрь цилиндра.

где положительные корни уравнения

Некоторые значения функции приведены на рис. 25. Доказательство (8.1) изложено в § 2 гл. XIII.

II. Начальная температура Тепловой поток на поверхности равен нулю.

где корни уравнения (8.2).

Рис. 25. Температура в цилиндре кругового сечения для случая постоянного потока тепла на поверхности. Числа на кривых указывают величины

Это соответствует случаю равного нулю, в задаче, рассмотренной в предыдущем параграфе. Однако следует отметить, что условие в соотношении (7.3) данной главы не приводит к соотношению (8.3) из-за отсутствия первого члена. В § 9 гл. I указывалось, что при граничных условиях вида

h всегда предполагается величиной положительной, и поэтому допущение для таких условий, что часто не дает правильного решения задачи, в которой граница непроницаема для тепла. В данной задаче физический смысл различия заключается в том, что если положительно, то конечная температура цилиндра равна нулю независимо от того, насколько малой может быть величина тогда как при (т. е. при условии, что поверхность непроницаема для тепла) конечная температура цилиндра равна не нулю, а средней величине начальной температуры. Математически это соответствует тому, что к нашему соотношению следует добавить постоянный первый член, аналогичный постоянному первому члену ряда Фурье по косинусам. То же остается справедливым и для сферы в отсутствие теплового потока на ее поверхности (см. § 7 гл. IX).