§ 10. Безразмерные параметры

Решение задач теплопроводности всегда можно выразить через безразмерные параметры. Например, рассмотрим уравнение, описывающее линейный тепловой поток,

в области — с граничными условиями типа (9.2), а именно:

Положение точки х можно определить отношением

а время — величиной

которая, как было показано в § 6 данной главы, является безразмерной, величиной. Наконец, вместо в граничном условии (10.2) тоже можно воспользоваться безразмерной величиной

Решения задач, определяемых соотношением (10.1), с граничными условиями (10.2) всегда можно выразить через три переменные вместо

исходных величин Подобную замену всегда желательно проделать до выполнения численных расчетов. Впоследствии мы покажем, что для очень многих случаев можно найти специальные формы решений, пригодные для малых, средних и больших величин

Диапазон величин с которым приходится встречаться на практике, огромен. При значении (что соответствует плохому проводнику) для тонких листов с толщиной, не превышающей становится большим после 1 мин, тогда как для тела с размером Земли остается малым в течение целых геологических эпох (см. формулу Прим. ред.).

Написанное выше дифференциальное уравнение и граничные условия можно выразить через безразмерные переменные. Например, подставив соотношения (10.3), (10.4) и (10.5) в (10.1) и (10.2), получим

Эта замена переменных привлекательна с чисто математической точки зрения, так как она приводит к некоторому упрощению математических выкладок. Однако в настоящей книге мы не будем ею пользоваться, ибо физический смысл формул более ясен, если они выражены через исходные физические переменные.