§ 9. Область [0, l]. Теплообмен на границах в среду с температурой, равной нулю. Начальная температура равна f(х)

В этом случае наши уравнения имеют следующий вид:

и

Выражение удовлетворяет уравнению (9.1). Оно удовлетворяет также уравнениям (9.2) и (9.3) при условии, что

и

Отсюда и

Следовательно, выражение

удовлетворяет уравнениям (9.1), (9.2) и (9.3), где А — произвольная константа и некоторый, отличный от нуля корень уравнения

Чтобы составить себе представление о совокупности действительных корней уравнения (9.5), необходимо лишь отметить, что они соответствуют абсциссам общих точек кривых

где мы положили

Вторая из этих кривых представляет собой гиперболу с центром в начале координат и асимптотами

Если начертить эту гиперболу и котангенсоиду (рис. 16), то мы увидим, что в каждом из интервалов лежит положительный корень уравнения, а отрицательные корни по абсолютным величинам равны положительным. Ясно также, что кратных корней нет.

Кроме того, очевидно, что уравнение (9.5) не может иметь чисто мнимого корня так как мы должны были бы в этом случае написать

что невозможно, поскольку оба члена имеют одинаковый знак.

В конце данного параграфа мы покажем также, что уравнение (9.5) не может иметь комплексных корней вида следовательно, все его корни действительны.

Предположим, что можно разложить в ряд

где

а положительный корень уравнения (9.5).

Тогда решение нашей задачи будет иметь вид

К вопросу о возможности разложения (9.6) и справедливости решения (9.8) мы еще вернемся в § 1 гл. XIV.

Рис. 16.

Если предположить, что такое разложение существует и что этот ряд можно интегрировать почленно, то значения коэффициентов нетрудно получить тем же способом, каким при аналогичных предположениях находят коэффициенты ряда Фурье.

Для этого нам нужно доказать, что

и

Это мы сейчас и сделаем.

Так как

то

(см. скан)

Следовательно,

и

Но

Следовательно,

Таким образом,

и

Итак, если мы предположим, что разложение в ряд возможно и что ряд можно интегрировать почленно, то

и

Таким образом,

Если на границах происходит теплообмен со средой с температурами соответственно, то данную задачу можно свести к разобранной выше, воспользовавшись заменой

Здесь — функция только от х, удовлетворяющая уравнениям

и

так что

а функция от удовлетворяющая уравнениям

и

Задачи, в которых один конец стержня поддерживается при постоянной температуре, а на втором происходит теплообмен с окружающей средой, либо задачи, в которых один конец совершенно изолирован, можно рассматривать тем же способом. Некоторые результаты приводятся в §§ 10 и II настоящей главы.

Мы отмечали выше, что уравнение

не может иметь комплексных корней вида

Если бы это было возможно, то мы получили бы два сопряженных корня и они дали бы два выражения

где

Теперь мы видим, что для любых двух неравных корней уравнения (9.5)

Но это применимо также к и следовательно,

Отделяя в X действительную и мнимую части

мы должны были бы получить

что невозможно.

Итак, мы убедились в том, что уравнение (9.5) имеет только действительные корни.