§ 3. Линейный тепловой поток в области (0, a)

I. Единичный мгновенный плоский источник в плоскости х в момент времени Границы поддерживаются при температуре, равной нулю.

Как и раньше, положим где

служит решением для единичного плоского мгновенного источника в плоскости х при в неограниченном твердом теле, решение уравнения теплопроводности, обращающееся в нуль при и выбранное таким образом, что на обеих границах обращается в нуль. Вспомогательное уравнение для имеет вид

Тогда, используя значение и из соотношения (2.5) предыдущего параграфа, получим

Здесь должны быть выбраны таким образом, чтобы при т. е. чтобы выполнялись соотношения

Решая уравнение для и производя подстановку, найдем

Когда решение имеет тот же вид, только меняются местами.

Определяя обычным путем при помощи теоремы обращения, получим

Распределение температур в момент времени при начальном распределении температур и температурах поверхностей поддерживаемых при и получается из соотношения (1.3) данной главы в виде решения (5.2) гл. III.

II. Единичный мгновенный плоский источник в плоскости х при Граничные условия имеют вид

где постоянные коэффициенты, равные нулю или положительным величинам (пары коэффициентов или не должны одновременно равняться нулю). Выбирая соответствующим образом эти коэффициенты, можно охватить все случаи, т. е. случаи нулевой температуры,

теплообмена или отсутствия теплового потока на той или иной поверхности. Решение, получаемое так же, как и в примере I, имеет вид

где

а корни уравнения

Если то в выражение (3.5) надо ввести член Это решение в явном виде написано ниже (см. (3.7)). Из решений (3.4) и (1.3) данной главы получается целый ряд решений, приведенных в §§ 10 и 12 гл. III.

III. Единичный мгновенный плоский источник в плоскости х при Тепловой поток на границах равен нулю.

В данном случае решение имеет вид