§ 6. Решения, применимые при больших значениях времени

В задачах для ограниченных областей решения обычно получаются в виде рядов, которые сходятся тем быстрее, чем больше величина Вместе с тем решения задач для неограниченных областей обычно принимают следующую форму:

где параметр (например, и при больших значениях такие решения, пожалуй, еще труднее для оценки. Обычно оказывается важным знать приближенные решения при больших значениях Эти решения можно получить, воспользовавшись интегралом (6.1), но для многих практических задач проще применить метод, излагаемый ниже Если есть изображение решения то это решение можно найти, воспользовавшись теоремой обращения

В задачах рассматриваемого класса имеет точку ветвления в начале координат и первый шаг при оценке величины состоит в преобразовании контура по которому интегрируют в (6.2), в контур изображенный на рис. 40; последний начинается в на нижней полуплоскости, один раз огибает в положительном направлении точку ветвления в начале координат и заканчивается в на верхней полуплоскости. Поэтому такой контур можно обозначить символом Тогда (6.2) запишется в виде

Во всех рассмотренных задачах это преобразование оказывается вполне законным; иными словами, можно показать, что интегралы по дугам и большой окружности на рис. 40 стремятся к нулю, когда радиус этой окружности стремится к бесконечности. При записи в явном виде выражения для вдоль пути контурный интеграл (6.3) сводится к действительному интегралу с бесконечным пределом (6.1). Чтобы найти решения, применимые при больших значениях времени, мы исходим из соотношения (6.3), разлагаем по возрастающим степеням и интегрируем этот ряд почленно, предполагая, что последний процесс может быть обоснован. Типичные интегралы, которые нам потребуются в дальнейшем, записываются следующим образом:

Здесь - постоянная Эйлера, предполагается действительной и положительной величиной, любая комплексная величина, причем В написанных выше соотношениях (6.4) вытекает из определения гамма-функции, (6.5) — из изображения а (6.6) и (6.7) можно получить обычным методом, используя путь интегрирования Другие необходимые формулы получаются путем дифференцирования по как по параметру. Тогда из (6.5) получим

В качестве примера рассмотрим область в которой тепловой поток постоянен и равен

Воспользовавшись соотношением (5.16) предыдущего параграфа, соотношениями (9), (10) приложения 3 и положив получим

где, как и выше, постоянная Эйлера.

Пользуясь (6.4) — (6.6) и (6.8), получим

Таким же путем можно получить решение (7.18) и аналогичные решения для всех задач, рассмотренных в § 7 данной главы. Дополнительные теоретические соображения, необходимые для получения соотношений (5.3) и (5.13) данной главы, развиты в статье [31].