§ 7. Дифференциальное уравнение теплопроводности для движущейся среды

Рассмотрим сначала твердое тело, движущееся со скоростью, компоненты которой равны их, При вычислении теплового потока через произвольную плоскость к тепловому потоку в неподвижном теле следует добавить член, обусловленный конвекцией, с составляющими Тогда компоненты вектора теплового потока можно записать в виде

Подставив эти величины в уравнение (6.3), получим для случая постоянного К и отсутствия источника тепла внутри тела следующее выражение:

Уравнение (7.2) можно записать в виде

где обозначает так называемую субстанциональную, или полную, производную [37]. Если внутри твердого тела имеется источник, выделяющий в единице объема в единицу времени количество тепла, равное А, т. е. источник мощностью то к правой части уравнения (7.3) нужно добавить член

Следует отметить, что уравнение (7.2) можно получить путем преобразования системы координат к системе, движущейся со скоростью в отношении которой справедливо обычное уравнение теплопроводности (6.4).

Вывод уравнений теплопроводности для случая течения сжимаемой жидкости будет изложен в сокращенном виде, так как эта задача аналогична задаче о теплопроводности в деформируемом твердом теле [38, 39]. Ясно, что термодинамические и гидродинамические величины, встречающиеся в наших исследованиях, должны быть определены совершенно точно. В дальнейшем мы будем использовать плотность абсолютную температуру и внутреннюю энергию единицы массы Кроме того, мы введем подстрочные индексы, например, примем для координат обозначения где ; повторение индексов означает, что нужно производить суммирование; например, в выражении означает Воспользуемся формулой Грина [37, 40], согласно которой, если функции ) и их первые производные внутри замкнутой поверхности являются непрерывными функциями то

где — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности, левая часть — двойной интеграл по поверхности а правая часть — тройной интеграл по объему, ограниченному этой поверхностью.

Пусть некоторая малая замкнутая поверхность в жидкости, причем объем, ограниченный указанной поверхностью, всегда содержит одни и те же частицы жидкости. Обозначим элемент этой поверхности через а элемент объема, ограниченного поверхностью через Сохранение массы в произвольном элементе объема означает, что

Как показал Ламб [37], соотношение (7.5) приводит к уравнению неразрывности.

Пусть сила, отнесенная к единице массы, — тензор напряжений, компоненты скорости; тогда уравнение движения для указанного элемента можно записать в виде

где поверхностные и объемные интегралы берутся соответственно по всей поверхности и по всему ограниченному ею объему.

Используя соотношения (7.4) и (7.5), уравнение (7.6) можно записать в форме

Согласно первому закону термодинамики для указанного элемента получим

где компоненты вектора теплового потока на поверхности т. е.

При использовании соотношений (7.4), (7.5) и (7.7) уравнение (7.8) приобретает следующий вид:

где компоненты тензора скоростей деформации, т. е.

Уравнение вязкости дает связь между а именно

где - гидростатическое давление, коэффициент вязкости, а символ Кронекера. Используя (7.12) и (7.9), можно записать уравнение (7.10) в виде

совпадающем по форме с уравнением (7.3).

Первые члена в правой части соответствуют теплу, выделяемому вследствие процессов сжатия и трения в жидкости, третий член представляет собой обычную . В левой части (7.13) стоит заменяющее величину в уравнении (7.3). Разумеется, можно выполнить дальнейшие преобразования уравнения (7.13), основанные на термодинамике; в частности, его можно выразить через энтропию.