§ 3. Двойные и кратные ряды Фурье

При обычном формальном рассмотрении (см. [5], § 90) ряда Фурье функции одной переменной определенной в интервале предполагается, что можно разложить в ряд

При этом коэффициенты получаются в результате умножения (3.1), соответственно, на единицу, и почленного интегрирования полученных рядов.

Таким образом, используя выражения

находим, что

Эту формальную теорию нетрудно превратить в строгую путем тщательного исследования ряда в правой части уравнения (3.1) с коэффициентами, определяемыми (3.5). При этом оказывается, что если удовлетворяет определенным условиям, например условиям Дирихле (см. [5], § 93), то этот ряд сходится и его сумма равна в каждой точке интервала, в котором функция непрерывна, и во всех других точках.

Формальную теорию двойных и кратных рядов Фурье развивают точно таким же образом. Предположим, что мы имеем функцию определенную в

прямоугольнике В этом двумерном случае функции

составляют ортогональную систему; они обладают свойствами, аналогичными (3.2), (3.3) и (3.4), т. е. интеграл по прямоугольнику от произведения любых двух различных функций равен нулю, а интегралы от их квадратов равны

для Если во втором, в третьем или либо либо в последнем из этих интегралов, то искомый результат оказывается вдвое больше; если в последнем интеграле, то его величина равна

Разложение функции аналогичное (3.1), имеет вид

Чтобы найти коэффициенты ряда, умножим обе части (3.8) на одну из функций (3.6) и проинтегрируем в пределах от — а до а по х и от до по у. В этом случае, используя (3.7) и учитывая, что все другие двойные интегралы от произведений функций (3.6) обращаются в нуль, находим

Коэффициенты равны половине, а — одной четвертой от приведенных выше величин.

В основном мы будем рассматривать случай, в котором является нечетной функцией как х, так и у; тогда все коэффициенты

обращаются в нуль. Отсюда следует, что

где

что аналогично ряду Фурье по синусам.

Точно так же, если определена в интервалах — и является нечетной функцией то мы получим тройной ряд по синусам

где

Если четная функция то тем же способом мы получим ряд по косинусам.

Задачи, в которых встречаются кратные ряды Фурье, можно рассматривать и другим способом; мы воспользуемся им в гл. VIII, где нам придется иметь дело с комбинацией рядов Фурье и рядов Фурье — Бесселя. Рассмотрим, например, случай, в котором является нечетной функцией х и у в интервалах —

Для любого фиксированного у в интервале — является нечетной функцией следовательно, ее можно разложить в ряд по синусам

где коэффициенты

зависят теперь от у. Они являются нечетными функциями у в интервале — и следовательно, их можно разложить в ряд

где

Таким образом, окончательно находим

где коэффициент, определяемый (3.17), что находится в соответствии с (3.10) и (3.11). Все другие случаи можно рассматривать аналогичным образом. Так же можно поступать и при разложении функции нескольких переменных в ряд по функциям, приведенным в §§ 9, 10 гл. III.

Теперь мы можем записать решения задач, приведенных в § 2 данной главы, в которых температуры поверхности являются функциями положения на поверхности.

Возьмем задачу I предыдущего параграфа. Рассмотрим установившуюся температуру в твердом теле граничная поверхность которого поддерживается при температуре а другие поверхности — при нулевой температуре.

В этом случае выражение

удовлетворяет дифференциальному уравнению нашей задачи, если

кроме того, (3.18) должно обращаться в нуль на всех поверхностях твердого тела, за исключением

Далее, если можно представить в виде ряда по синусам то решение задачи будет иметь вид

где