§ 6. Использование сопряженных гармонических функций в задачах с установившейся температурой
Пусть 
действительные функции х и у, причем такие, что
В этом случае 
называют сопряженными гармоническими функциями х и у. Тогда мы имеем
Следовательно,
Отсюда вытекает, что кривые 
ортогональны. Кроме того, поскольку
и
то
и аналогично
Далее, если 
является такой функцией 
что
то можно показать, что
Так,
и
Аналогично,
Складывая эти два выражения и используя соотношения 
получим
Итак, если мы можем получить решение уравнения
удовлетворяющее некоторым граничным условиям на кривых
то это решение на плоскости 
можно преобразовать в решение на плоскости 
причем границами служат кривые в плоскости 
которые при преобразовании
будут срответствовать кривым 
температуры на этих границах будут соответствовать температурам на границах в плоскости 
Рассмотрим прямоугольник в плоскости 
определяемый следующим образом:
причем
Решение этой задачи получается разбиением ее на четыре случая, в каждом из которых три границы поддерживаются при нулевой температуре. Таким образом, как и в задаче I § 3 гл. V, найдем
где 
коэффициенты в рядах синусов
Находя 
из соотношения
получаем температуру в области, ограниченной кривыми, которые соответствуют 
причем на этих кривых температуры соответствуют 
