ГЛАВА XV. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

§ 1. Введение

В настоящей главе мы рассмотрим различные задачи, которые нельзя отнести ни к одной из изученных ранее; они объединены лишь тем, что для их исследования хорошо подходит метод преобразования Лапласа, который в большинстве случаев приводит к изображениям более сложным, чем рассматривавшиеся ранее. Мы вкратце покажем применение этого метода к задачам теплопроводности в движущихся твердых телах, к теории теплообменников, при наличии в твердых телах источников тепла, при расчете установившихся периодических температур, к задачам о тепловом потоке в неоднородных материалах и к ряду других задач. В дополнение к уже использовавшимся методам мы рассмотрим также прямое применение преобразования Лапласа к задачам с несколькими пространственными переменными.

§ 2. Теплопроводность в движущемся теле

Задач подобного типа решено сравнительно мало. В своем большинстве это задачи для полуограниченного твердого тела, которое движется со скоростью их вдоль оси х и имеет на плоскости различные граничные условия. Положительные значения их соответствуют увеличению объема среды (например, снежный покров, толщина которого непрерывно увеличивается вследствие выпадения осадков [1, 2]). Отрицательные значения их соответствуют удалению вещества с плоскости из-за эрозии [3, 4], плавления, сублимации, при горных разработках [5] или аналогичных процессах.

Было рассмотрено также несколько задач о протекании жидкости по трубам [7, 9]; при этом предполагалось, что по всему поперечному сечению трубы скорость жидкости одинакова. При помощи излагаемого здесь метода можно также решить задачи с движущимися тепловыми источниками, но непосредственное интегрирование, проведенное в § 7 гл. X, здесь более эффективно и его легче выполнить. Перейдем к решению типичных задач.

I. Область движется со скоростью Начальная температура равна а плоскость при поддерживается при температуре В теле равномерно распределены источники мощностью

При различных значениях постоянных этот случай охватывает множество упомянутых выше задач. Найденные решения остаются справедливыми при обоих знаках Искомое дифференциальное уравнение (см. (7.2) гл. I) имеет вид

с граничными условиями

Вспомогательное уравнение

должно быть решено при условии

Решение (2.4), (2.5) имеет вид

Используя формулы (19) и (29) приложения 5, а также теорему VI § 2 гл. XII, получим

II. Область с начальной температурой движется со скоростью Граничное условие на плоскости имеет вид

В этом случае нужно решить дифференциальное уравнение (2.1) при с граничным условием (2.8). Решение вспомогательного уравнения записывается следующим образом:

Используя формулу (31) приложения 5, получим искомое решение в виде

Это решение справедливо при обоих знаках Оно встречается при решении задач о диффузии примесей в расплавленном металле [6, 8].

III. Установившееся периодическое изменение температуры в области движущейся со скоростью и имеющей при температуру

Ищем решение в виде

тогда функция должна удовлетворять уравнению

Решение уравнения (2.12), ограниченное при имеет вид

Используя показательную форму комплексного числа

получим искомое решение в виде

IV. Радиальное течение с диффузией в двух измерениях.

Предположим, что при установившемся радиальном течении несжимаемой жидкости через каждую окружность в 1 сек проходит масса жидкости Тогда радиальная скорость жидкости равна

Тогда в цилиндрической системе дифференциальное уравнение теплопроводности принимает вид

где определяется равенством (2.15). Вспомогательное уравнение для (2.16) при нулевой начальной температуре запишется следующим образом:

где Решение этого уравнения, ограниченное при имеет вид

В качестве одного из примеров применения решения (2.18) укажем, что, согласно формуле (33) приложения 5, функция с изображением

имеет вид

Решение (2.20) обладает тем свойством, что полное количество тепла в области постоянно и равно Таким образом, оно аналогично решению для линейного источника (см. § 3 гл. X) применительно к данному случаю радиального движения среды.

Приведем еще один пример: из (2.18) (как и в § 5 гл. XIII) следует, что решение уравнения (2.16) для области при нулевой начальной температуре и постоянной температуре в плоскости имеет вид

V. Неограниченное твердое тело с постоянной начальной температурой движется вдоль оси х со скоростью При поверхность цилиндра поддерживается при нулевой температуре.

В этом случае дифференциальное уравнение имеет вид

Полагая

получим

Переходя к полярным координатам в плоскости получим следующее вспомогательное уравнение:

где

Граничное условие для (2.25) имеет

или

где

Уравнение (2.25) имеет решение

где коэффициенты находят, подставляя (2.29) при в (2.27).

Окончательно получим

Отсюда следует, что

VI. Тонкий стержень с нулевой начальной температурой движется со скоростью При его конец поддерживается при постоянной температуре V, а конец при нулевой температуре. На поверхности стержня происходит теплообмен со средой с нулевой температурой.

В этом случае дифференциальное уравнение (9.1) гл. IV принимает вид

его нужно решать при граничных условиях при при левой начальной температуре. Вспомогательное уравнение имеет вид

а граничными условиями служат при при Тогда

Используя теорему обращения, получим

Подынтегральная функция в соотношении (2.34) имеет простые полюсы при а также в корнях уравнений

т. е.при

Находя вычеты относительно этих полюсов, окончательно получим