§ 7. Шар. Радиальный поток тепла
Фундаментальными решениями для радиального теплового потока в сферических областях служат решения для единичного мгновенного шарового поверхностного источника радиусом действующего в момент времени 
Решение для источника, действующего в неограниченной среде, имеет вид (см. (3.6) гл. X)
и, следовательно,
Как и ранее, мы ищем решение в виде
где 
решение уравнения теплопроводности
кроме того, 
должно обращаться в нуль при 
и должно иметь такое значение, чтобы 
удовлетворяло граничным условиям.
I. Шар 
с температурой поверхности, равной нулю. В момент 
на поверхности 
действует единичный поверхностный сферический мгновенный источник.
Здесь 
должно удовлетворять вспомогательному уравнению
и иметь при 
конечное значение. Таким образом, мы должны иметь
где А определяется из условия, что при 
т. е. что
Используя это значение А, получим
Если 
то 
в этом соотношении следует поменять местами.
Используя обычным путем теорему обращения, найдем
Принимая, что на сфере 
действует источник мощностью 
и интегрируя по 
от 
до а, получим для температуры в шаре с начальной температурой 
и нулевой температурой поверхности величину, равную
Решение для случая, когда температура поверхности равна 
получается таким же путем, как и в § 1 данной главы.
Вместе с тем, разлагая выражение (7.6) в ряд по отрицательным степеням показательных функций, находим решение
приводящее к решению (3.21) гл. IX для температуры в шаре с начальной температурой 
Шар 
поверхности которого происходит теплообмен со средой нулевой температуры. В момент времени 
на поверхности 
действует единичный мгновенный поверхностный сферический источник.
В данном случае
где 
положительные корни уравнения
III. Шаровая оболочка 
В момент времени 
на поверхности 
действует единичный мгновенный поверхностный сферический источник. Граничные условия имеют вид
где 
положительные величины или нули.
В данном случае
где
положительные корни уравнения
Если 
то к правой части решения (7.13) следует добавить член
IV. Область ограничена изнутри шаровой поверхностью 
В момент 
на поверхности 
действует единичный мгновенный поверхностный сферический источник. Граничное условие на поверхности 
имеет вид
где 
В данном случае
