§ 20. Изменение теплопроводности и вектор теплового потока в анизотропных твердых телах
В анизотропной среде направление вектора теплового потока 
в какой-либо точке, вообще говоря, не совпадает с направлением нормали к изотерме, проходящей 
через эту точку. Пусть и — скорости изменения температуры вдоль нормали к изотерме, проходящей через точку 
и вдоль направления вектора теплового потока в точке 
соответственно.
Рассмотрим сначала направление вектора теплового потока в точке 
Его направляющие косинусы имеют вид
и, следовательно, используя (17.1), можно написать
и
Однородная квадратичная форма (20.3) равна — 
и из физических соображений ее величина не зависит от выбора осей. Далее, поскольку производная 
должна быть отрицательной, если 
положительно, форма (20.3) будет положительно определенной. Для этого необходимо, чтобы
Из соотношения (20.2) следует, что
можно назвать коэффициентом теплопроводности в направлении вектора теплового потока в точке 
Теперь рассмотрим нормаль к изотерме, проходящей через точку 
Направляющие косинусы 
задаются соотношениями
Отсюда следует, что
Кроме того, из соотношения (3.2) следует, что тепловой поток 
в направлении, перпендикулярном к изотерме в точке 
записывается в виде
или в виде
Коэффициент 
можно назвать коэффициентом теплопроводности по нормали к изотерме в точке 
Величины 
определяемые соотношениями (20.5) и (20.10), не зависят от выбора осей.
Теперь посмотрим, каким образом 
меняется в зависимости от направляющих косинусов 
нормали к изотермической поверхности. Подставляя их величины, определяемые (20.6), в соотношения (20.3) и (20.10), получим
Если отложить отрезки 
константа) в направлении 
то геометрическое место их концевых точек 
с координатами
имеет вид эллипсоида
с которым мы уже встречались в § 18 (см. соотношение (18.2)). Как можно видеть, в таком эллипсоиде квадрат радиуса-вектора, проведенного в точку эллипсоида, в которой направление нормали к эллипсоиду совпадает с направлением радиуса-вектора, обратно пропорционален коэффициенту теплопроводности по нормали.
Так же как и в § 18, можно найти систему прямоугольных координат 
относительно которой соотношение (20.13) примет вид
где 
главные коэффициенты теплопроводности. Тогда коэффициенты теплопроводности по нормали к изотермам (направляющие косинусы нормали относительно главных осей теплопроводности равны 
окажутся равными 
где 
радиус-вектор в направлении 
Другим способом это можно записать следующим образом:
Обычно при проведении основного эксперимента (см. § 2 настоящей главы) на плоской тонкой пластине кристалла (вырезанной таким образом, что нормаль к нему имеет направляющие косинусы относительно главных осей теплопроводности кристалла, равные 
измеряется именно этот коэффициент 
Для очень важного специального случая, когда 
(т. е. для любого направления, образующего угол 6 с осью симметрии эллипсоида), соотношение (20.15) принимает вид
Обратимся теперь к тепловым потокам через плоскости, перпендикулярные главным осям теплопроводности. Если переход из системы 
(см. соотношение (20.13)) в систему 
(см. (20.14)) записывается в явном виде, то величины тепловых потоков 
через новые координатные плоскости можно получить из соотношений (17.1) и (3.2). Однако и без этого ясно, что новые соотношения для тепловых
потоков должны иметь вид
так как, повторяя вывод соотношения (20.13) из (17.1), приходим к выражению (20.14), которое состоит из суммы квадратов. Таким образом, при переходе к главным осям теплопроводности в линейной зависимости между тепловыми потоками и производными температуры появляется самое большее шесть независимых коэффициентов. Далее, так же как и в двумерном случае, рассмотренном в § 19 настоящей главы, есть все основания полагать, что так называемые «вращательные» члены 
стремятся к нулю, и следовательно, соотношения (20.17) принимают вид
Из формулы для перехода к новым осям легко показать, что равенство 
означает симметрию коэффициентов теплопроводности, т. е. для любой системы прямоугольных осей в формуле (17.1) мы должны считать, что
Наконец, определим направление вектора теплового потока и выясним, каким образом изменяется в этом направлении теплопроводность 
этом мы предполагаем, что справедливо соотношение (20.19) и, следовательно, тепловой поток определяется соотношениями (20.18).
В соотношении (20.14) точка (
была выбрана на радиусе-векторе, перпендикулярном изотерме, проходящей через точку 
т. е.
Используя этот результат, а также (20.18), получим 
Квадрат каждого отношения в соотношении (20.20) равен 
Используя (20.2) и (20.14), получим
где 
радиус-вектор точки с координатами 
Согласно соотношениям (20.20) направление 
совпадает с направлением вектора теплового потока. Следовательно, теплопроводность 
в этом направлении равна
Итак, из соотношения (20.14) следует, что 
лежит на эллипсоиде
Таким образом, если направление вектора теплового потока относительно главных осей теплопроводности задается направляющими косинусами 
то теплопроводность 
в этом направлении определяется соотношением
Это и есть теплопроводность, которая обычно измеряется в экспериментах с длинным тонким стержнем, вырезанным в направлении 
Если 
то соотношение (20.25) принимает следующий вид 
Эллипсоид, описываемый (20.24), был назван Ламе главным эллипсоидом; иногда его называют термическим эллипсоидом. Он дает геометрическое представление об изменении теплопроводности.
Из рассмотрения эллипсоидов, описываемых соотношениями (20.14) и (20.24), можно сделать множество геометрических выводов о свойствах теплопроводности, направлениях вектора теплового потока и нормалей к изотермам. Например, из последних трех уравнений (20.20) следует, что если нормаль к изотерме в некоторой точке имеет направление 
, то направление вектора теплового потока в указанной точке перпендикулярно плоскости, касательной к эллипсоиду (20.14) в точке 
. С другой стороны, если в некоторой точке известно направление вектора теплового потока 
то нормаль к изотерме, проходящей через указанную точку, перпендикулярна плоскости, касательной к эллипсоиду (20.24) в точке 
ЛИТЕРАТУРА
(см. скан)
