§ 6. Дифференциальное уравнение теплопроводности для изотропного твердого тела

Рассмотрим сначала случай, когда тепло течет через твердое тело, причем внутри тела источники тепла отсутствуют. Температура в точке является непрерывной функцией как показано в § 3, то же утверждение справедливо и для теплового потока.

Выделим в данном твердом теле элемент объема — прямоугольный параллелепипед с центром в точке и ребрами длиной параллельными осям координат. Пусть и грани, перпендикулярные оси х и отстоящие от центра параллелепипеда соответственно на расстоянии Тогда количество тепла, поступающее в параллелепипед через грань записывается в виде

где величина теплового потока в точке через плоскость, параллельную Аналогичным образом количество тепла, вытекающее через грань равно

Тогда приращение количества тепла в параллелепипеде, обусловленное тепловым потоком через эти две грани, равно

Точно так же находят аналогичные выражения для приращения количества тепла, обусловленного потоком тепла через остальные пары граней. Суммируя эти выражения, мы получим общее приращение количества тепла в параллелепипеде в виде

где -вектор, определенный соотношением (3.4). Вместе с тем это же увеличение количества тепла в параллелепипеде можно представить в виде

где плотность, а с — удельная теплоемкость (при температуре V) твердого тела.

Приравнивая выражения (6.1) и (6.2), получаем

Полученное уравнение справедливо для любой точки твердого тела при условии, что в этой точке отсутствует источник тепла. При использовании этого уравнения не требуется, чтобы твердое тело было однородным или изотропным. Уравнение (6.3) соответствует уравнению неразрывности в гидродинамике.

Для однородного изотропного тела, у которого коэффициент теплопроводности не зависит от температуры, даются соотношениями (5.3) и уравнение (6.3) приобретает следующий вид:

где

Константу Кельвин назвал коэффициентом тепловой диффузии, а Максвелл — коэффициентом температуропроводности так как х характеризует то изменение температуры, происходящее в единице объема вещества, которое обусловлено количеством тепла, протекающим в единицу времени через единичную площадку в слое единичной толщины и при единичной разности температур на его поверхностях.

Уравнение (6.4) известно как уравнение теплопроводности. В случае установившейся температуры, когда не изменяется со временем, это уравнение превращается в уравнение Лапласа

Если в точке твердого тела существует источник тепла, выделяющий в единице объема за единицу времени количество тепла то в соотношение (6.1) следует ввести дополнительный член в случае постоянного К соотношение (6.4) принимает вид

Для установившегося режима, при уравнение (6.7) превращается в уравнение Пуассона.

Почти во всех задачах, имеющих точное решение, а также в задачах, рассматриваемых в настоящей книге (если нет специальных указаний), термические характеристики вещества с считаются постоянными, т. е. не зависящими от положения выбранной точки и от температуры тела. Если это не так, то соотношение (6. 3) все же остается справедливым, причем при

наличии источника тепла к правой его части добавляют член а соотношение (6.7) принимает следующий вид:

Если являются функциями только положения, то при решении уравнения (6.8), в принципе, не приходится сталкиваться с большими трудностями, и для тел, в которых термические характеристики имеют разрыв (составные тела), и тел, в которых изменение К с положением подчиняется простому закону, пригоден целый ряд решений. Если же термические свойства зависят от температуры, то ситуация значительно усложняется, так как уравнение становится нелинейным. Таких случаев, связанных с теплопроводностью, исследовано очень мало, что объясняется относительно слабым изменением термических свойств с температурой, а имеющиеся данные по этому вопросу весьма скудны и неточны. Между тем подобные задачи приобретают все большее значение в тех случаях, когда приходится рассматривать значительные изменения температуры, как, например, при застывании отливок. Кроме того, те же уравнения играют важную роль в теории диффузии, когда имеет место резкое изменение коэффициентов диффузии в зависимости от концентрации (см. [71], гл. IX—XI). Для решений в большинстве случаев были использованы численные методы; несколько общих результатов и случаи, для которых возможно точное решение, будут изложены ниже.

I. Термические характеристики изменяются с температурой и не зависят от положения.

В данном случае соотнэшение (6.8) принимает следующий вид:

Как мы видим, это уравнение нелинейно. Соотношению (6.8) можно придать более простую форму вводя новую переменную

где — значение К при и нижний предел интегрирования вводят только для того, чтобы придать величине размерность температуры и определенное значение. Из соотношения (6.10) следует, что

и соотношение (6.8) принимает вид

где выражены через новую переменную Таким образом, при использовании этой новой переменной сохраняется форма уравнения теплопроводности (6.7), но коэффициент температуропроводности становится зависимым от . В большинстве случаев изменение с температурой значительно менее важно, чем аналогичное изменение К и, таким образом, с достаточным приближением можно считать постоянным. Например, для металлов, находящихся при температурах, близких к абсолютному нулю, как К, так и с приблизительно пропорциональны абсолютной температуре. В таких случаях, если А не зависит от то уравнение (6.11) принимает тот же вид, что и (6.7). Для случая постоянной теплопроводности можно сразу же

получить решение, заменив на но при этом граничные условия должны определяться только или если они записываются в виде

где постоянная, то это замечание не имеет силы.

Случай установившегося теплового потока представляет особый интерес, так как при уравнение (6.11) превращается в уравнение Пуассона, а при в уравнение Лапласа. Таким образом, решения задач об установившемся тепловом потоке при теплопроводности, являющейся произвольной функцией температуры, и с граничными условиями для температуры или теплового потока, можно непосредственно получить из соответствующих решений для случаев постоянной теплопроводности.

Другую удобную форму уравнения легко получить, вводя переменную теплосодержание единицы массы вещества, измеренное относительно некоторого произвольного нулевого значения температуры. Подставляя в уравнение (6.8), получим

или, воспользовавшись соотношением (6.10),

где связано с каким-то определенным образом.

Введение величины имеет ряд преимуществ при решении задач, в которых учитывается скрытая теплота.

II. Источник тепла внутри твердого тела.

Случаи, когда внутри твердого тела имеется источник тепла, приобретают все большее и большее значение в технике. Внутри твердого тела тепло может образовываться в результате следующих процессов: а) пропускание электрического тока, б) диэлектрический или индукционный нагрев [9—12]; в) радиоактивный распад ([13, 14]; см. также библиографию к гл. II и IX); г) поглощение излучения, д) переход механической энергии в тепловую при вязких или пластических деформациях; е) химические реакции ([71], гл. VIII; см. также библиографию к гл. XV настоящей книги), в том числе ряд самых различных процессов, начиная от гидратации цемента [15—19] и кончая созреванием яблок [20].

Во всех случаях, кроме последнего, количество выделяемого тепла в первом приближении не зависит от ; в более точном приближении оно обычно соответствует формуле

где постоянные, которые могут иметь любой знак.

Следует отметить, что уравнение (6.7) с величиной А, соответствующей выражению (6.14), можно точно решить многими способами (см. § 14 гл. I и § 7 гл. XV).

Количество тепла, выделяющегося в результате химической реакции нулевого порядка, обычно рассчитывают по формуле Аррениуса

где постоянные, абсолютная температура [22—24]. Для реакций более высокого порядка следует использовать аналогичное, но более сложное выражение. В некоторых случаях его находят экспериментально, и оно имеет вид

Для всех описанных выше случаев не существует аналитических решений, и поэтому следует применять численные методы. Выражением (6.14) можно пользоваться как самым грубым приближением, но, по-видимому, точные решения очень сильно отличаются от перечисленных приближений.

III. Эффекты термического расширения.

Уравнение (6.3) выведено в предположении, что в результате деформации твердого тела работа не совершается, и поэтому с является удельной теплоемкостью только при постоянной деформации. Если напряжения в твердом теле вызывают деформацию, т. е. совершается работа, то это надо учесть, соответственно изменив уравнение (6.3). Если возможно неограниченное расширение при постоянном давлении, то уравнение (6.3) все еще имеет силу при условии, что с считают равным т. е. удельной теплоемкости при постоянном давлении. Если же это расширение ограничено, то в уравнении появляются дополнительные члены. Так, в случае напряжений, обусловленных, например, гидростатическим давлением в правую часть уравнения (6.3) следует добавить член

где абсолютная температура, а— термический коэффициент линейного расширения, а под с в уравнении (6.3) следует понимать т. е. теплоемкость при постоянном давлении. Общий случай напряжений разобран в работах [28, 29].