§ 5. Решения в цилиндрических и сферических координатах
Существование решений для линейного теплового потока, найденных в § 2 данной главы, зависит в основном от существования решений уравнения теплопроводности, являющихся функциями только Это позволяет предположить, что решения в цилиндрических или сферических координатах, являющиеся функциями только 
дать полезные результаты. Легко доказать, что
1) в цилиндрических координатах функция
служит решением уравнения теплопроводности и что
2) в сферических координатах функция
служит решением уравнения теплопроводности. Кроме того, было показано, что они являются единственными решениями такого типа [25]. Эти решения использованы Франком [26] для изучения радиально-симметричного увеличения объема фазы, регулируемого диффузией, или, придерживаясь принятой терминологии, радиального увеличения объема сферического или цилиндрического твердого тела, образующегося из расплавленного материала (одномерный случай уже рассматривался выше; см. пример II § 2 данной главы). Здесь мы допустим, что плотности твердой и жидкой фаз одинаковы. В противном случае будет иметь место движение жидкости [27].
Излагаемые ниже результаты можно получить таким же путем, как и в § 2 данной главы (см. пример II).
I. Область 
в цилиндрических координатах состоит из твердого тела, находящегося при температуре плавления 
а область 
из переохлажденной жидкости, температура которой 
при 
стремится к 
Положение поверхности раздела определяется соотношением
где 
корень уравнения
а температура 
жидкости — уравнением
II. Для соответствующей задачи в сферических координатах мы будем иметь 
где 
корень уравнения
Температура жидкости 
равна следующей величине:
