§ 11. Частные случаи и численные результаты для пластины с граничным условием третьего рода

Это граничное условие характерно для многих задач, имеющих важное практическое значение. Для их решения мы располагаем множеством числовых данных в форме таблиц и графиков. Приведем здесь некоторые из имеющихся результатов, причем для упрощения выразим числовые величины через безразмерные параметры

Обычно при рассмотрении ограничиваются такими важными величинами, как температура в центре, на поверхности или средняя температура, которые содержат только два параметра следовательно, могут быть выражены в виде семейства кривых. В самом деле, имеется восемь функций от при помощи которых можно выразить многие результаты подобного рода.

Первые четыре из этих функций имеют вид

где положительные корни уравнения

которое в принятых нами обозначениях представляет собой уравнение (10.6), приведенное в предыдущем параграфе.

Рис. 17. Функция где определяется из (11.2).

Показано изменение температуры поверхности пластины толщиной имеющей начальную температуру V и охлаждаемой в результате теплообмена со средой нулевой температуры. Числа на кривых указывают значения

Другие четыре функции, соответствующие корням уравнения (10.7), имеют вид

где (при ) — положительные корни уравнения

Некоторые значения корней уравнений (11.6) и (11.11) приведены в приложении 4. Следует отметить, что при больших значениях важны только первые члены приведенных выше рядов. Во многих случаях это оказывается справедливым, если

При малых значениях (скажем, ) ряды сходятся медленно и, пользуясь методом, изложенным ниже (см. § 5 гл. XII), можно вывести другие выражения. Они не приводят к таким простым и точным формулам, как это было в некоторых случаях, рассмотренных ранее.

Рассмотрим теперь ряд важных частных задач.

1. Область с постоянной начальной температурой V и теплообменом на ее границах со средой нулевой температуры.

Используя здесь (11.1), (11.6), а также соотношение (10.8), получим

Температура поверхности температура в центре где определяются из выражений (11.2) и (11.3)

Средняя температура в пластине Количество тепла, отдаваемое пластиной (с обеих поверхностей) за время равно

На рис. 17, 18 и 19 изображены графики зависимости от для различных значений

Ввиду важности рассматриваемых задач был составлен ряд таблиц и диаграмм с численными значениями этих величин. Были построены графики зависимости от для фиксированных значений [26, 27].

Рис. 18. Функция где определяется из (11.3). Показано изменение температуры в центре пластины толщиной 21, имеющей начальную темпера» туру V и охлаждаемой за счет теплообмена со средой нулевой температуры. Числа на кривых указывают значения

Эти графики, как правило, представляют собой прямые, что соответствует случаю, в котором важен только первый член (11.12). Другие авторы не пытались изучать эти функции для всех значений параметров, а исследовали величины или которые определены выше. Грёбер [28; 29] приводит краткие таблицы и графики зависимости этих величин от при определенных значениях или от при определенных значениях [30] обобщил результаты Грёбера и построил графики зависимости от в линейном масштабе, придавая значения (при Были составлены также графики зависимости от для определенных значений и дана числовая таблица для построения таких графиков [34]. Было приведено множество таблиц с критическим введением к ним [35]. Нейман [33, 37] дает таблицы значений для постоянного и параболического начального распределения температуры. Кроме того, были опубликованы численные результаты, а также решения, пригодные для расчетов [38—42].

2. Область при наличии на плоскостях теплообмена со средой нулевой температуры. Начальная температура В данном случае

где корни уравнения (11.6).

3. Область с нулевой начальной температурой нагревается за счет теплообмена со средой с температурой Как отмечалось в § 8 данной главы, эта задача сводится к задаче о нагревании пластины постоянным потоком

тепла, подводимым к его поверхности, при наличии теплообмена со средой, имеющей нулевую температуру. Искомая температура равна разности между V и температурой, полученной в примере 1.

4. Область с нулевой начальной температурой. Через плоскость тепловой поток внутрь твердого тела постоянен и равен на плоскости происходит теплообмен со средой нулевой температуры В данном случае

где положительные корни уравнения (11.6). На плоскости температура равна ; на плоскости она равна Количество тепла, проходящее через единицу площади плоскости за промежуток времени от до равно

Рис. 19. Функция где определяется из (11.4). Показано изменение количества тепла теряемого единицей поверхности пластины толщиной имеющей начальную температуру V и охлаждаемой за счет теплообмена со средой нулевой температуры. Числа на кривых указывают значения

5. Область с начальной нулевой температурой. При на плоскости поддерживается нулевая температура. На плоскости происходит теплообмен со средой, имеющей постоянную температуру В данном случае

где (при положительные корни уравнения (11.11). Температура на плоскости равна а в выражение для количества тепла, поступающего через единицу площади плоскостей за время входит соответственно и

6. Область с нулевой начальной температурой. При температура границы поддерживается равной На границе происходит теплообмен со средой нулевой температуры. В данном случае

где положительные корни уравнения (11.11). Температура на границе равна

7. Область с начальной температурой При температура на границе поддерживается равной нулю; на границе происходит теплообмен со средой, имеющей температуру В данном случае

где положительные корни уравнения (11.11). Это выражение показывает изменение температуры на внешней стороне составной пластины при установившихся условиях. Анализируя соответствующее дифференциальное уравнение, легко показать, что изменение температуры выражается формулой (11.15), в которой V заменено на

8. Область с нулевой накальной температурой. При происходит теплообмен со средой с температурой V, а при со средой нулевой температуры. Коэффициенты теплообмена на обеих границах одинаковы. Решение этой задачи получается комбинированием (11.12) и (11.15)

где и — положительные корни уравнений (11.6) и (11.11).

9. Область с накальной температурой Граникные условия записываются в виде

причем они не должны одновременно обращаться в нуль; также должны удовлетворять этим условиям. Записанные нами граничные условия включают девять возможных комбинаций нулевой температуры, нулевого теплового потока или теплообмена со средой, имеющей нулевую температуру на любой поверхности. В данном случае

где

Здесь (при положительные корни уравнения

если то в соотношение (11.21) следует ввести дополнительный член

Это является обобщением результата, полученного в § 9 данной главы, на случай различных коэффициентов теплообмена для двух поверхностей. Распространение результатов на случай теплообмена со средой, имеющей различные температуры, производится так же, как и в конце § 9 данной главы.